数Iの問題（図形と計量）ですが、いまいち解き方が分かりません。

質問

分からない問題が２問あります。
一応どの参考書にも目を通しましたが、わかりませんでした。
アドバイスだけで良いので、教えてもらえるとありがたいです。

１問目：三角形ＡＢＣにおいて、

sinA:sinB:sinC=7:5:8

が成り立つ時、角Aを求めよ。

答えは60度と書いてあります。。

どのようにして解けばいいのか全く分かりません；
三角形の角度A,B,Cの比も7:5:8になるのでしょうか？

２問目：四角形ABCDが円に内接し、AB=3,BC=1,CD=3,DA=4であるとき、
cos∠Aの値と対角線BDの長さを求めよ。

答えはcos∠A=1/2、BD=√13とあります。

四角形が等脚台形になることぐらいしかよくわかりませんでした^^;

回答No.2

debut · ベストアンサー

１．
正弦定理から
sinA：sinB：sinC＝a/2R：b/2R：c/2R＝a：b：c＝7：5：8
すると、kを定数として　a=7k、b=5k、c=8kとおけるので
余弦定理の　cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc　を使えば・・

２．
余弦定理と、円に内接する四角形の対角の和は180°である、を
使えば、cosC=cos(180°-A)=-cosAなので
△ＡＢＤと△ＢＣＤの余弦定理ＢＤ^2＝・・・から
AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosA=BC^2+CD^2+2*BC*CD*cosAが成り立ちます。
BDは、BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosAから求めます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞sinA：sinB：sinC＝a/2R：b/2R：c/2R＝a：b：c＝7：5：8
＞すると、kを定数として　a=7k、b=5k、c=8kとおけるので
あぁああ
すっかり休みの間に忘れていました^^;
そうか、正弦定理を使うのか・・スッキリしました！ありがとうございます！

回答No.1

juck0808

2問目
まず、BからDに線を引いて、四角形ABCDが三角形ABDとBCDに分けます。
それぞれの三角形で余弦定理を用いて、BD^2を出します。
三角形ABDより
BD^2=9+16-2・3・4・cos∠A=25-24cos∠A
三角形BCDより
BD^2=1+9-2・1・3・cos(180°-∠A)=10+6cos∠A
この2つは等しいので、
25-24cos∠A=10+6cos∠A
となり、計算すると、cos∠Aの値が出てきます。
cos∠Aの値をどちらかのBD^2を求める式に代入して計算するとBDの値が出てきます。（ただし、BD>0)

お礼

回答ありがとうございます！

な、なるほど！！
なんで分からなかったんだろ^^;　変に難しく考えてたみたいです＞＜
ありがとうございます！スッキリしました