内接円の半径の求め方を教えてください。

質問

△ABCにおいて、sinA：sinB：sinC＝7：8：13が成立し、
△ABCの面積が56√3であるとき△ABCの内接円の半径を求めよ。

この問題の解き方＆計算の仕方＆答えをどなたか導いてくださいませんか？

お願いします。

回答No.2

nora12 · ベストアンサー

正弦定理より2R=a/sinA(=b/sinB=c/sinC)[R:外接円の半径、a=BC,b=AC,c=AB]なので
sinA=a/2R と変形できるかと思います。
2Rは定数とみなすので、sinAとaの比例関係は変わらない、
つまり、△ABCの各辺の長さの関係も変わらないといえます。

よってa:b:c=7:8:13よりaの長さを比例定数k(縮尺のようなものだと思ってください。)
を使って表すと、
　　a=7k,b=8k,c=13k と表せます。←kがないと後で面積が出せなくなるので、必ず入れて下さい。

これを使ってcosCを出してみたいと思います。
(cosAやcosBでもできますが、後で良い値がでてきますので・・・)

余弦定理より
　　c^2=a^2+b^2-2abcosC なので 　cosC={a^2+b^2-c^2}/2ab
これにさっきのa,b,cを代入するとkが約分されてなくなり、cosC = -1/2となります。
よって C=120° となり、sinC=sin120°=sin60°=√3/2となります。
したがって面積をSとすると
　　　　S=1/2*ab*sinC=1/2*7k*8k*√3/2=56√3
よってk>0よりk=2 したがってa=7*2,b=8*2,c=13*2 となります。(後の計算を楽にするためにばらして表してあります。)

以上より内接円の半径をｒとすると内接円の中心は三角形の内心でもあるので、
S=r*1/2(a+b+c)
=r*1/2(7*2+8*2+13*2)
=r*(1/2)*2(7+8+13)
=28r
=56√3

∴ｒ=2√3・・・（答）

先に解答されている方もいらっしゃるようですし、二番煎じの様な感じになってますが、
参考にしていただけら嬉しいです。

お礼

ありがとうございました。

でも、
＜cosC = -1/2となります。
よって C=120° となり、sinC=sin120°=sin60°=√3/2となります。＞

のところがなぜ、こうなるのかよくわからないのですが・・・
cosC＝-1/2が１２０°なのはわかるのですが、
sinC＝sin１２０°からsin６０°(√3/2になってしまうのでしょうか？

ご回答いただけると有難いです。

回答No.3

nora12

♯2のnora12です。
説明不足でしたね。すみません。

sin120°=sin60° は 120°+60°=180° より、sinθ=sin(180°-θ)の性質を引用させていただきました。

図が描けないのであれですが、
単位円や正弦曲線を想像していただけるとわかりやすいかと思います。
(教科書・参考書等に載っていると思われますので・・・ご参照下さい。)

回答No.1

himajin100000

>sin(A)：sin(B)：sin(C)＝7：8：13
正弦定理から
BC:CA:AB = 7:8:13
ここで実数x(x>0)を用いて
BC = 7 * x
CA = 8 * x
AB = 13 * x
であるとすると、余弦定理から
cos(A)
= ((8*x)^2 + (13 * x)^2 - (7 * x)^2)/ 2 * (8*x) * (13*x)
= 23 / 26

よって
(sin(A))^2 + (cos(A))^2 = 1
(sin(A))^2 = 1 - (cos(A))^2 = 147 / 26^2
仮定よりsin(A) > 0だから
sin(A) = 7 * √(3) / 26

ここで⊿ABCの面積は
(1/2) * AB * CA * sin(A) = (1/2) * (13 * x) * (8 * x) * (7 * √(3)/ 26) = 56√3
これを解いて
x = 2

また、⊿ABCの面積は、内接円の半径rを用いて
(1/2) * ((8 * x) + ( 7 * x) + ( 13 * x )) * r
= (1/2) * 56 * r
= 56*√(3)
とも書けるから、
これを解いて
r = 2 * √(3)

お礼

回答ありがとうございます。
やはり、計算がとっても難しいのですが、
cosCから求めていく方法でもよろしければ教えてくださいませんか？

お手数かけますが、お願いします。