三角関数で分からない問題があります。お願いします。

質問

三角形ABCにおいてsinA/6=sinB/5=sinC/4が成り立つことから以下の問題に答えなさい。

（1）cosA、sinAをの値を求めなさい。

（2）三角形ABCに内接する円の半径が1のとき、ABの長さ、三角形ABCの面積、三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。

正弦定理を使うことはわかりますが、どう使えばよいのか分かりません。お願いします。

回答No.3

yyssaa

sinA/6=sinB/5=sinC/4が成り立つということは、△ABCの各辺
の長さをa,b,c(各Aの対辺をa、以下同じ)とすると、
a:b:c=6:5:4が成り立つということです。
（1）cosA、sinAをの値を求めなさい。
余弦定理により、36=25+16-2*4*5cosAよりcosA=1/8・・・答え
sinA=√(1-1/64)=√(63/64)=(3√7)/8・・・答え
（2）三角形ABCに内接する円の半径が1のとき、ABの長さ、三角形ABCの面積、三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。
内接する円の中心をOとすると、△OAB、△OBC、△OCAは全て
高さが1の三角形になる。△ABCの各辺の長さをa=6x、b=5x、
c=4xとすると、△ABCの面積=△OAB、△OBC、△OCAの面積の和
=(1/2)*1*(6x+5x+4x)=15x/2・・・(ア)
sinA=(3√7)/8を使うと、△ABCの面積=(1/2)*b*c*sinA
=(1/2)*5x*4x*(3√7)/8=(15x^2√7)/4・・・(イ)
(ア)=(イ)からx{(x√7)-2}=0、x≠0からx=2/√7、よって
ABの長さ=c=4x=8/√7=(8√7)/7・・・答え
三角形ABCの面積=15x/2=15/√7=(15√7)/7・・・答え
正弦定理より三角形ABCの外接円の半径=a/(2sinA)
=6*(2/√7)/{2*(3√7)/8}=16/7・・・答え

回答No.2

ereserve67

(1)三辺の長さa,b,cについて正弦定理より

a:b:c=sinA:sinB:sinC

条件式より，

sinA:sinB:sinC=6:5:4

ゆえに

a:b:c=6:5:4，a=6k,b=5k,c=4k（kは正の数）

余弦定理より

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(25k^2+16k^2-36k^2)/(40k^2)=1/8

∴sinA=√(1-cos^2A)=√(1-1/64)=√(63/64)=3√7/8

(2)三角形の面積Sについて

S=(1/2)bcsinA=(1/2)r(a+b+c)

ここにrは内接円半径で1．またa=6k,b=5k,c=4k,sinA=3√7/8より

S=(1/2)20k^2・3√7/8=(1/2)1(15k)=15√7k^2/4=15k/2

∴√7k=2,k=2/√7=2√7/7

∴S=(15/2)(2√7/7)=15√7/7

外接円半径Rについて正弦定理より

R=a/(2sinA)=6k/(2・3√7/8)=8k/√7=(8・2/√7)/√7=16/7

回答No.1

Tacosan

・正弦定理がどのようなものか, わかりますか?
・なぜ「正弦定理を使う」と思ったのですか?