等脚台形と円

質問

「四角形ABCDが円に内接し、AB＝３、BC＝１、CD＝３、DA＝４である時、cosAの値と対角線BDの長さを求めよ。」
という問題で、答えは1/2と√3です。

余弦定理を使って普通に解けるんですが、このときのABCDって等脚台形ですか？ぼくは最初それかと思い、BからADに垂線おろしてその足をHとすると、AH/BA＝cosAと、直接求めたんですが運よく合ってましたこれは偶然ですか？

よろしくおねがいします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ANo.2です。

＞ＡＣ＝３，ＣＤ＝３ではなくて、ＡB＝３，ＣＤ＝３では・・・？
済みません、間違えました。訂正します。
ＡＢ＝３として考えてみて下さい。

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

yyssaa

このときのABCDって等脚台形ですか？
＞
等脚台形とは台形の一種で、１本の底辺の両端の内角が互いに等しい図形である。
(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%84%9A%E5%8F%B0%E5%BD%A2より抜粋）
AB=CDより∠CAD=∠BDA。
∠BAC=∠BDC
辺々加えて、∠CAD+∠BAC=∠BDA+∠BDC。この式の左辺は∠Aで右辺は∠D。
従って上記の等脚台形の説明にある１本の底辺をADと考えれば、両端の内角
が互いに等しいので、四角形ABCDは等脚台形である。

運よく合ってましたこれは偶然ですか？
＞
正しい解法であり、偶然ではありません。

回答No.2

ferien

＞「四角形ABCDが円に内接し、AB＝３、BC＝１、CD＝３、DA＝４である時、
＞cosAの値と対角線BDの長さを求めよ。」

余弦定理を使って普通に解けるんですが、このときのABCDって等脚台形ですか？ぼくは最初それかと思い、BからADに垂線おろしてその足をHとすると、AH/BA＝cosAと、直接求めたんですが運よく合ってました
＞これは偶然ですか？
ＡＣ＝３，ＣＤ＝３なので、弧ＡＣ上と弧ＣＤ上の円周角が等しいことから、
錯角が等しいことが言えるので、ＢＣ//ＡＤが言えて、等脚台形であることを示すことができます。
だから、偶然ではないです。
（円の中に、向かい合った２辺だけ長さが等しいような四角形を描いてみれば分かります。）

補足

ＡＣ＝３，ＣＤ＝３ではなくて、ＡB＝３，ＣＤ＝３では・・・？

回答No.1

asuncion

対角線ACの長さがBDと同じであれば、
四角形ABCDは等脚台形です。