図形と計量

質問

よろしくお願いします
円に内接する四角形ＡＢＣＤがある　ＡＢ＝４　ＢＣ＝５　ＣＤ＝７　ＤＡ＝１０のとき、sinAとこの四角形ＡＢＣＤの面積を求めよの問題で
解答中　
四角形ＡＢＣＤは円に内接するからＣ＝１８０°－Ａ
△ＡＢＤにおいて余弦定理より　BD＾2＝１１６－８０cosA…(1)
△ＢＣＤにおいて余弦定理より　BD＾2＝７４＋７０cosA　…(2)　　　
(1)(2)より１１６－８０cosA＝７４＋７０cosA　
ゆえにcosA＝７／２５
となっていますが(1)(2)から求まるcosA＝７／２５は必ず答えにしてよいのでしょうか？
ここでの論理の流れの理解がすっきりしません
この問題では　BD＞０、－１＜cosA＜１のもとで
　(1)かつ(2)⇔cosA＝７／２５かつBD＾2＝４６８/５⇔cosA＝７／２５かつBD＝√(468／5)
とするのが正しいような気がするのですがどうしてBD存在には触れずに解答してしまっているのですか？煩雑さを回避するためですか？
もしくわ
(1)かつ(2)からもとまる必要条件によってｃosA＝７／２５に絞る
そして図形を描くと1つ存在することがわかる、だからこれを答えとしているのですか？
つまり必要条件から1つにしぼることができ、かつ内接四角形を書いてみると確かに四角形は固定されていてこれをみたすｃosAは1つ、だからそのｃosAはｃosA＝７／２５となるのですか？

もしかするとこうゆうsinやcosや面積などを求めるときは
証明の問題と同様に一方通行の議論でこたえをしぼっていくのですか？
だとしてもそのでてきた値が本当に題意を満たすのかの確認はどの段階で行えばよいのでしょう？

ちょっと混乱しています、どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

agamk · ベストアンサー

質問をまとめると、"BDの存在に触れずに,cosAを確定させてるのはおかしい"と,いうことでしょうか.

そうであれば,いまの場合,図を書いてみるとBDもcosAも確かに１つだけ存在していることが明らかなので,BDは線分の長さで負になることは無く,cosAも実数の範囲で話をしている限りcosの定義から|cosA|>1,となることはないので,BD＞０、－１＜cosA＜１となることは明らか(自明)なので "　BD＞０、－１＜cosA＜１のもとで"と,する必要はありません.もちろん,書いても問題ありません.

例えば,他の例を出すと,底辺が２で面積が４である三角形の高さを求めよ,と言われて"高さをｘとするとｘ＞０のもとで"とは書かないですよね.これも,同じで書いても良いのですが絶対に正になることが分かっているので,書く必要がないのです.

しかし、"1/√2<cosA<1の範囲で"とか"BD<20で"とか指定された場合は,このようなBDやcosAが存在することが,図を書いてみると20近くに見えても,もしかしたら20.1とか19.9とかしれないですし,見るだけでは明らかではないので,こういう場合は"1/√2<cosA<1,BD<20のもとで"のように、明示する方が良いでしょうね.

その条件が分かりきっている(自明な)ことかどうか書かないと,この答案を読んでる人が分からないことなのかどうか,しっかり判断する必要があります.

お礼

遅くなりましたが
ありがとうございます！