線積分について

質問

線積分というものがよくわかりません。
線積分というのはxとyについての二十積分なのでしょうか？
以下の問題について考えていたのですが、どうやればいいのでしょうか？

∫_c ( ye^(xy)dx + xe^(xy)dy )
cは(1,1)→(2,2)にへの増加する曲線

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>(x,y)=(1+t,1+t),t=0～1としているところがよくわかりません。
少しベクトルによる直線の表現法や曲線（直線）の媒介変数表現法の勉強をされた方が良いでしょうね。教科書や参考書に大抵載っていると思いますが…。そうすれば理解できると思います。

t=0が積分経路の始点C1(1+t,1+t)=(1+0,1+0)=(1,1)となっており、
t=1で終点C2(1+t,1+t)=(1+1,1+1)=(2,2)となっている。
0<t<1でtを増加していくと線分C1C2上を点(x,y)=(1+t,1+t)が
C1からC2に移動して行きます。この経路を積分経路Cにすれば、積分がA#1
に書いたように書き表せるわけです。

線積分の経路は必ずしも、C1→C2に直線で結ぶ経路にそって
積分しなくても結構ですが、できるだけ積分が簡単に
実行できる経路を選べば良いかと思います。

[別解1]積分経路Cを(1,1)→(2,1)→(2,2)として積分すれば
∫[(1,1)>(2,1)] ( ye^(xy)dx + xe^(xy)dy )
+∫[(2,1)>(2,2)] ( ye^(xy)dx + xe^(xy)dy )
=∫[1→2]1*e^(x*1)dx+∫[1→2] 2*e^(2y)dy
=e^2-e+(e^4-e^2)=e^4-e

[別解2]
∫_c ( ye^(xy)dx + xe^(xy)dy )
=∫_c d(e^(xy))=e^(xy)|(x=2,y=2)-e^(xy)|(x=1,y=1)=e^4-e

回答No.1

info22

経路Cの線分（ベクトル）を媒介変数tを使って表すと
(x,y)=(1,1)+t(1,1)=(1+t,1+t),t=0～1
となるから
x=1+t, y=1+t
dx=dt,dy=dt
線積分のx,yを媒介変数tで置換すると
∫_c ( ye^(xy)dx + xe^(xy)dy )
=∫[0→1] 2(t+1)e^{(t+1)^2}dt
=e^{(t+1)^2}|[t=0→1]
後は代入だけですから自分でやってください。

補足

回答ありがとうございます。
(x,y)=(1+t,1+t),t=0～1としているところがよくわかりません。
線積分は経路に関係がないというところからこのようにしているのでしょうか？