線積分とグリーンの定理

質問

円C1：x^2+y^2=1(x,y≧0)に(1,0)→(0,1)に向きをつける。
C2は(0,1)から原点に向きをつけた線分
C3は原点から(1,0)へ向きをつけた線分、
C=C1+C2+C3とする。
次の線積分をグリーンの定理を用いて計算せよ。
∫c(2x^2y+xy+y^3)dx+(x^3+4xy^2+y^4)dy

という問題があり、C1,C2,C3に分けて
C1はグリーンの定理を使い、極座標に変数変換して
π/8-1/3
という値を求めましたが、
解答を見るとこれがそのまま答えになっています。
C2,C3の線積分は必要ないのでしょうか？
C2,C3もパラメーター表示して線積分してみたのですが
C2では0
C3では1/5とでました。
これを足す必要はないのでしょうか？

わかりにくい質問ですが、わかる方いらっしゃいましたら
お教えください。
よろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

グリーンの定理の意味を誤解しておられるようです．
グリーンの定理は【閉曲線】C に囲まれる領域 S について
(1)　　∫_C {P dx + Q dy} = ∫∫_S {(∂Q/∂x) - (∂P/∂y) dx dy
というもので，閉曲線の線積分とその閉曲線で囲まれる領域での面積分とを関係づけています．
閉曲線ということが大事で，閉曲線でないとそれで囲まれる領域というのが決まりません．
だから，上の C は C1+C2+C3 であって C1 ではありません．
C2 や C3 からの分を別に足してはいけないのです．
計算してみたところ，(1)の右辺の面積分は質問にあるように π/8 - 1/3 になりました．

なお，個別に線積分を計算すると
C1 からの寄与は π/8 - 2/15
C2 からの寄与は -1/5
C3 からの寄与は 0
で，全部合わせてちゃんと π/8 - 1/3 になります．

suiciderjp さんは
> C2では0
> C3では1/5とでました。
と書かれていますが，C2 と C3 は書き間違いだとして，
C2 からの寄与は 1/5 でなくて -1/5 です．
C2 では y 座標は 1→0 と変化しています(0→1 ではない！)．

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
おっしゃる通り間違った理解をしていました。
納得できたので、他の問題で確認していきたいと思います。
またわからないものがありましたら
どうぞよろしくお願いします。
とても助かりました。