ベクトル場と線積分

質問

電磁気の問題で大変困っています。
一様なベクトル場、Ｅ→＝（Eo,0,0)があり、次の二つの異なる経路C1とC2について、点Ａ（a,0,0)から点Ｂ（0,a,0)まで線積分せよ。
C1:Ｘ＋Ｙ＝a、Z=0
C2:X^2+Y^2=a^2,Z=0(X,Y≧0）

という問題です。

C1の場合、自分は、
∫_c1E→・(dx,dy,dz)=∫_c1（Eo,0,0)・(dx,dy,dz)=∫Eodx(xはa→0)
=[Eox]=-Eoa
で一応問題の答えはこれであっているのですが、このような計算過程でいいのでしょうか？

次のC2では、自分は、
∫_c2E→・(dx,dy,dz)=∫_c2 (Eo,0,0)・(dx,dy,dz)
ここで、x=acosθ、ｙ=asinθとおき、
dx=-asinθdθ、dy=acosθdθ

θの変化は、0→π/2で、
上式=∫Eo・(-asinθdθ)=[Eoa・cosθ]=Eoa としました。
この問題の答えは、Eoaπ/2となると思うのですが。。。　　

確実にC2の場合は自分の計算は間違っていると思います。
どなたか説明して頂けませんか？　お願いします。

同じくC1についても間違いのある点をご指摘して頂ければ幸いです。
お願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

電磁気学(今は静電気の話ですね)で出てくる線積分は
∫_c (E→)・(dl→)　　(見やすいように括弧をつけました)の
タイプが普通です．
これは，電場がもともと力であること(単位電荷に働く静電気力が電場)と，
仕事との関係から来ています．
仕事は最もナイーブには (力) 掛ける (距離)ですが，
力の方向と動く方向とが違っていれば内積になります．
また，動いている間に一般には力が変わります．
したがって，微小距離 (dl→) 動いたときの仕事(単位電荷あたり)が
(E→)・(dl→) で，これを足し合わせたものが線積分と考えればよいのです．
lirva-314 さんは C2 の計算で内積を成分できちんと処理されています．

(E→) は常に x 方向を向いているのに対して，
(dl→) は方向が場所によって変わるものの大体 -x 方向を向いています(端の点Ａを除く)．
第１象限の 1/4 円に沿っているのですから当然ですね．
ですから，(E→)・(dl→) は常に負で(端の点Ａを除く)．
その大きさは E_0 dl cosθですから E_0 dl より小さくなります．
E_0 dl を C2 に沿って線積分すれば当然 －E_0 aπ/2 ですから
(積分の方向と符号に注意)，
問題の答は負でその大きさは E_0 aπ/2 より小さいことが
具体的な積分計算をせずにわかります．

線積分には他にも種類がありますが
(たとえば，∫_c (E→)×(dl→)，外積になっている，など)，
はじめに述べたように電磁気の話では今のタイプが一番ポピュラーです．

お礼

丁寧な説明をして頂き、ありがとうございました。
まだ完全に理解できたわけではないですが、ある程度見えてきた気がします。

わがままな質問で夜遅くまで付き合わせて本当にすいませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

siegmund

C1 は合っています．

C2 もきちんとパラメーター表示をして正しく計算していますが，
最後のところでうっかりしました．
[Eoa・cosθ] で，上端がπ/2，下端がゼロですから，
結局 -Eoa が答です．

Eoaπ/2 にはなりません．

問題で与えられたベクトル場 Ｅ→＝（Eo,0,0) は保存力場ですから，
線積分の両端点が同じなら積分値は径路によりません．

お礼

なるほど、ありがとうございました。
保存力についてまだしっかり理解できてないようなので、とりあえずがんばります。

ところで、自分は　曲線C: x^2+y^2=a^2,z=0について
周回積分∫_cdl　を求めよ、という問題の答えが、2πaとなることから、、経路C2では円の1/4なので、Eoaπ/2が答えだと予想したのですが。
線積分の計算式は、∫_cE→・dl→　であると、教科書で読んだのですが、
周回積分と質問の線積分は、関連性がなく、全くの別物なのでしょうか？

質問が重複してしまい申し訳ありません。