線積分の問題

質問

Cを放物線y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線とするとき、線積分
∫c（-y/x^2+y^2）dx+（x/x^2+y^2）dyの値を求めよという問題です。

これを解きたいのですが、この範囲の内容は、教科書に載っておらず、先生が板書と口頭で説明したため、理解できていません。
原点を中心とした半径１の円周にそう積分に帰着させるとよいそうなのですが・・・

ネットで調べてはみたのですが、まず、「y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線」これをどのように活用していけばよいのかすら分かりません。
線積分の考え方が分かる方、ご指南宜しくお願いします。

回答No.4

paltaan · ベストアンサー

No.1の者です。

＞＞コーシーの積分定理は習っていますか？
＞まだ習ってないんです。
詳しい議論をしようとすると位相空間の話やベクトル解析の話をすることになるのでやめておきますが、イメージだけ説明します
被積分関数となっている関数f(x,y)=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))は原点以外では正則ですから、原点以外の空間では

F(x1,y1)-F(x0,y0)=∫_c (-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))・(dx,dy) (c:(x0,y0)から(x1,y1)への任意の曲線)

なる、関数F(x,y)が存在します。
つまり、始点と終点のみで積分値が決定します。
なので、No.2の解答者さまの画像のような積分経路をとれば始点と終点が一致しているので、積分値は０です。
橋渡しの部分の積分は行きと帰りでキャンセルされ・・・このへんにしときます

＞＞問の積分は次のように計算できます
＞∫sin(t)(dx/dt)dt+∫cos(t)(dy/dt)dt
＞このようになるのはなぜでしょうか？

∫_c（-y/x^2+y^2）dx+（x/x^2+y^2）dy
=∫_c (-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))・(dx,dy)
=∫_[0,2π]((-y(t)/(x(t)^2+y(t)^2),x(t)/(x(t)^2+y(t)^2))・(dx/dt,dy/dt)dt
=∫_[0,2π](sin(t),cos(t))・(dx/dt,dy/dt)dt
=∫_[0,2π]sin(t)(dx/dt)dt+∫_[0,2π]cos(t)(dy/dt)dt

先に(dx/dt,dy/dt)を計算してしまっても全く問題ありません

お礼

再度の解答ありがとうございます。
おかげで、理解できました。
どうも、ありがとうございました。

回答No.3

noname#154783

う～ん，複素解析まだ習ってないんですか．
そしたら，こんなのはどうでしょうか?

2次元のベクトル解析で，
F = (X,Y),
dr = (dx,dy)
とし，xy平面上の領域Sの縁をγとすると，
∮_γ F・dr = ∫_S (∂Y/∂x - ∂X/∂y)dS
が成り立ちます(ストークスの定理の2次元版)．

そこで，

X = -y/(x^2 + y^2), Y = x/(x^2 + y^2)

とすると，原点以外で

∂Y/∂x - ∂X/∂y = 0

であり，ANo.2の添付図の積分路をγとし，薄緑色の領域をSとして，

∮_γ F・dr = ∫_S (∂Y/∂x - ∂X/∂y)dS = 0.

γ = C - C(0,1)
(Cは「放物線と線分からなる閉曲線」，C(0,1)は原点中心，半径1の円)
であるから，∮_γ F・dr = 0より

0 = ∮_γ F・dr = ∮_C F・dr - ∮_C(0,1) F・dr
∴∮_C F・dr = ∮_C(0,1) F・dr.

x = cos θ，y = sin θとパラメタ表示して，
∮_C(0,1) F・dr
= ∮_[0,2π] {(-sin θ)(-sin θ) + cos θ cos θ}dθ
= 2π．

以上より，求める積分は
∮_C {-y/(x^ + y^) dx + x/(x^ + y^) dy}
= ∮_C(0,1) F・dr
= 2π.

お礼

ストークスの定理を用いた証明もできるんですね。
こちらの計算方法ならば、理解して解くことができました。
どうも、ありがとうございました。

回答No.2

noname#154783

u(x,y) = x/(x^2 + y^2),
v(x,y) = -y/(x^2 + y^2)
と置くと，u，vは原点以外でコーシー-リーマンの方程式を満たすので，
z = x + iy と置いたとき，複素関数

f(z) = u + iv = 1/z

は原点以外で正則であり，

f(z) dz = (u dx - v dy) + i(v dx + u dy)

であるから，問題の線積分は
複素積分 ∮_C f(z) dz = ∮_C dz/z の虚部である．

で，原点中心，半径1の円を C(0,1) と表すと，
f(z)の正則性より

∮_C dz/z
= ∮_C(0,1) dz/z
= ∫_[0,2π] i exp(iθ) dθ/exp(iθ) (z = exp(iθ))
= i∫_[0,2π] dθ
= 2πi.

以上より，求める積分は

∮_C {-y/(x^2 + y^2) dx + x/(x^2 + y^2) dy}
= Im ∮_C dz/z
= 2π.

※ u と v の選び方を間違えると
f(z) = u + iv が正則にならないので注意．
念のためコーシー-リーマン条件を確認してください．

f(z)の正則性さえ確認できれば，
あとは添付した図のようなイメージです．

お礼

ご解答ありがとうございます。
複素関数は来年学習するようですので、今はまだ分かりませんが習ってからもう一度復習する際に参考にさせていただきます。

回答No.1

paltaan

コーシーの積分定理は習っていますか？
この問題では、ガウス平面(複素平面)ではありませんが、この定理のステイトメントが使えます
今、被積分関数となっている関数(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))は原点以外では正則です
故にコーシーの積分定理から、「y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線」で線積分しても「原点を中心とした半径１の円周」で積分しても同じ結果が返ってきます
「原点を中心とした半径１の円周」をパラメータ表示すると…

(x(t),y(t))=(cos(t),sin(t)) (0≦t≦2π)

ですから、問の積分は次のように計算できます

∫sin(t)(dx/dt)dt+∫cos(t)(dy/dt)dt
=∫(sin(t))^2dt+∫(cos(t))^2dt
=∫dt
=2π

問で与えられた、「y^2=2(x+2)と直線x=2の各々の一部からなる閉曲線」で積分しようとするとかなり大変だと思われます…(少なくとも私はやりたくない(汗))

練習がてら、次の閉曲線で積分してみてください。この積分はそれほど煩わしくはないはずです。さらに、答えは一致するはずです。

「x=2,y=2,x=-2,y=-2の各々の一部からなる閉曲線」

お礼

＞コーシーの積分定理は習っていますか？
まだ習ってないんです。
ただ、とりあえず、原点を中心とした半径１の円周にそう積分の計算方法が分かっていれば今の段階ではよいと先生に言われました。
＞問の積分は次のように計算できます
∫sin(t)(dx/dt)dt+∫cos(t)(dy/dt)dt
このようになるのはなぜでしょうか？
これ以外は理解できるのですが。
再度解答いただけますと幸いです。