線積分について

質問

I=∫_c ( (2x^3 + 2xy^3)dx + (3yx^2 + 2y)dy )
A(-1,-2)⇒B(1,2)の線積分なんですが
A⇒Bは曲線みたいになってる

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3609461.html
以前ここで質問したように
(x,y)=(-1,-2)+t(1,2)
とおいて、
積分したのですが、32/5となってしまい答えの16になりません。
すべての線積分がURLのようにできるわけではないのでしょうか？

回答No.1

looker1986 · ベストアンサー

一般に線積分は経路に依存します。
AからBへの直線に沿って積分すれば、質問の線積分の値は（たぶん）32/5になりますが、
曲線の場合はその限りではありません。

２次元の場合、線積分∫_c (Pdx + Qdy) において 、
等式 Q_x = P_y　(Qをxで偏微分したものとPをyで偏微分したもの)
が成り立てば、Greenの定理から、その積分の値は経路に依存せず両端の点で決まります。

しかし、質問の問題ですと
　Q = 3yx^2 + 2y , Q_x = 6yx
　P = 2x^3 + 2xy^3 , P_y = 6xy^2
であり、Q_x ≠ P_y です。
ですので、線積分は経路に依存し、その経路がわからなければ線積分を計算できません。
ちなみに、以前の質問の場合は Q_x = P_y が成り立っています。

お礼

なるほど。
そのような等式が成り立つか成り立たないかが重要だったのですね。
とても勉強になりました。
解答ありがとうございます。