線積分の問題

質問

x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)にそって線積分
∫c（x^2・ycosx+2xysinx-y^2・e^2）dx+（x^2・sinx-2ye^x）dyを計算せよ。
グリーンの定理を用いるとよい。
という問題です。
グリーンの定理を用いると∬D d{（x^2・ycosx+2xysinx-y^2・e^2）dx+（x^2・sinx-2ye^x）dy}dxdyのように式変形できると思うのですがここから先どのように考えてゆけばよいでしょうか？
外微分を用いて計算してゆくのでしょうか？
教科書に載っておらず、板書は写したもののグリーンの定理さえあまり理解できていません。
ネットでも調べてみたのですが、イマイチといった感じです。
外微分はなんとか調べて理解できました。
助けていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

どうも，ANo.1の者です．

そうですか～，やっぱり e^2 ですか～．
ということはどうしても
アステロイド曲線Cに囲まれた領域D上での積分を
やらきゃならないんですね～(苦笑)．

とりあえず，アステロイド曲線の方程式を
yについて解くと，

y = ±f(x).
ただし f(x) = ( a^(2/3) - |x|^(2/3) )^(3/2).

これを後で使います．

※ aは正とみなしました．
もしそうじゃないなら，以下すべて
a → |a|
と置換してください．

さて，
X = x^2 y cos x + 2 x y sin x - y^2 e^2,
Y = x^2 sin x - 2 y e^x
に対して，
∂Y/∂x - ∂X/∂y = 2(e^2 - e^x)y
であり，グリーンの定理により
∮_C (X dx + Y dy)
= ∬_D (∂Y/∂x - ∂X/∂y)dx dy
= ∬_D 2(e^2 - e^x)y dx dy.

ところで，上で求めておいたf(x)を用いると
∬_D 2(e^2 - e^x)y dx dy
= 2∫[-a,a]dx (e^2 - e^x)∫[-f(x),f(x)] y dy.
ところが，この y による積分を実行すると0になってしまいますので，
∬_D 2(e^2 - e^x)y dx dy = 0.

以上より，求める積分は

∮_C (X dx + Y dy) = ∬_D 2(e^2 - e^x)y dx dy = 0.

※検算はしてください(苦笑)．

>ですが、０になるなら、x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)にそって線積分というのは何か意味をもつのでしょうか？

「アステロイド曲線はコケおどしで，
グリーンの定理を使うと，結果として積分路の形なんかどうでもよい」
という問題なのかなと思ったんです．

お礼

ご回答ありがとうございました！
分かりやすく解説していただいたおかげで、理解できました。
本当にありがとうございました！

回答No.1

noname#154783

この問題ですけど，問題文中の
> ∫c（x^2・ycosx+2xysinx-y^2・e^2）dx+（x^2・sinx-2ye^x）dy
の1つ目の括弧内の最後の部分
> e^2
じゃなくって
e^x
じゃないでしょうか?

もしそうなら
X = x^2・ycosx+2xysinx-y^2・e^x,
Y = x^2・sinx-2ye^x
に対して

∂Y/∂x - ∂X/∂y = 0

なので，グリーンの定理(ストークスの定理の2次元版)

∮_C (X dx + Y dy) = ∬_D (∂Y/∂x - ∂X/∂y)dx dy

を用いると(DはCに囲まれた領域)，求める積分は

∮_C {(x^2 y cos x + 2xy sin x - y^2 e^x)dx + (x^2 sin x - 2y e^x)dy}
= ∮_C (X dx + Y dy)
= ∬_D (∂Y/∂x - ∂X/∂y)dx dy
= 0

となるんですけど...

お礼

ご回答ありがとうございます。
問題文はやはりe^2となっています。
確かにe^xならば0になりますね。
もしかすると、問題の出題ミスかもしれません。
ですが、０になるなら、x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)にそって線積分というのは何か意味をもつのでしょうか？