久しぶりの線積分に苦戦

質問

D={(X,Y)|0≤x≤1、0≤y≤π}の境界（反時計回り）をC1とする。
線積分
∮[C1](sin(xy)dx + x cos y dy)
を計算せよ。
すでに、大学を出て20年、積分は望郷の彼方に飛んで行ってしまいました。
計算方法を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

EH1026TOYO

蛇足になるが、グリーンの定理を利用して計算してみる・・!
P = sin(xy) , Q = xcosy
∲𝐜₁Pdx+Qdy
= ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy
=∬{cosy - xcos(xy)}dxdy
=∫[0,1]0dx -∫[0,1] sin(πx)dx
= [(1/π)cos(πx)]|𝐱₌₀~₁
= ₋2/π

お礼

グリーン関数。
思い出してきました。
なるほど。
有り難うございました。

補足

グリーンの定理でした。
歳には敵わないなです。

回答No.1

info33

∫ [C1] (sin(xy)dx + x cos y dy)
=∫ [0,1] sin(x*0)dx + ∫ [0,π]1*cos y dy +∫ [1,0] sin(x*π) dx+∫ [π,0] 0*cosy dy
= 0 + sin pi - sin 0 + (cos pi - cos 0)/π + 0
= -2/π

お礼

早速の回答、ありがとうございました。
これから、式展開を追いかけます。