平面スカラー場の線積分について

質問

x-y 平面上の領域 D で関数 f(x,y) が定義され、D 内にある平面曲線 C を

　　x = x(t), y = y(t) (a ≦ t ≦ b) ・・・・・・・ (#0)

で表わすとき、この「曲線 C に沿った線積分」を線素

　　ds = √(dx^2 + dy^2) = √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt

を使って

　　∫_C f(x,y) ds
　　= ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt ・・・・・・・ (#1)

と定義する。

　(#1)が「曲線 C に沿ってできる」x-y 平面に垂直なカーテン状の曲面の面積を表すことはわかりやすいのですが、ちょっとわかりにくいのが「曲線 C に沿ってできる x に関する」線積分

　　∫_C f(x,y) dx = ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) dx/dt dt ・・・・・・・ (#2)

の定義です。もし、(#0) の曲線 C の y と x が一対一に対応していたら、(#2) の線積分は (#1) の曲面を x-z 平面に投影した図形の面積を表すと解釈してよいのでしょうか。
　ベクトル解析の参考書を2冊持っているのですが、そんな説明はどちらの参考書にもないので心配なのです（笑）。

回答No.2

myuki1232 · ベストアンサー

>　負方向に積分する例も考慮に入れれば、「(#2)の絶対値」は(#1)を x-z 平面に投影した図形の面積と解釈していいのかということです。
そういうことであれば、そのように解釈して問題ないと思います。

ちなみに、私の手元の教科書にも特に面積であるとは書いてありませんでした。
ネット上の資料としては、下の埼玉工業大学のセミナー資料が見つかりましたが、このあたりに来るとあまり幾何学的イメージになぞらえて説明する必要はないという考えなのかもしれません。
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/PathIntegral.pdf

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。リンク先の例はとてもわかりやすいですね。

回答No.1

myuki1232

ds は（dx, dy が実数である限り）常に正なので線積分は面積になりますが、dx には符号があるので単純に面積とはなりません。
試しに曲線Cが渦を巻いていたり、閉曲線ならどうなるか考えてみてください。

補足

早速の回答ありがとうございます。

　ちょっと書き方が曖昧でした。
「(#0) の曲線 C の y と x が一対一に対応していたら」
という条件は、最も素朴な例を想定していました。たとえば曲線 C が直交座標における
y = 1 - cos(t)
x = t - sin(t) (0 ≦ t ≦ 2π)
のような例です。
　負方向に積分する例も考慮に入れれば、「(#2)の絶対値」は(#1)を x-z 平面に投影した図形の面積と解釈していいのかということです。