線積分の問題です よろしくお願いします

質問

下の問題がわかりません、結構考えてみて、グリーンの定理をつかってこの線積分が経路に依存しないことを示せばいいのではと思ったのですが、示せませんでした。
どなたかお分かりの方、教えていただければ幸いです。
不足なところがあれば補足させていただきますので、よろしくお願いします。

xy平面の4点O(-a,-a),A(a,-a),B(a,a),C(-a,a)を結んで出来る正方形の周囲を
O→A→B→C→Oと反時計回りに回る曲線をCとする。
この時次の線積分を計算せよ。

経路をCとして、∫xe^(-y^2)dx+{(-x^2)ye^(-y^2)+1/(x+y)}dy

回答No.1

Nandayer · ベストアンサー

グリーンの定理を使って．．．と述べられておられることをヒントにしました。
　　f(x,y) = (1/2) * x^2 * e^(-y^2)
とおくと、
　　積分の中味　= fx dx + fy dy + dy/(x+y)
　　（ fx, fy はそれぞれ f の x, y による偏微分）
です。
　　　fx dx + fy dy
は完全形式ですから、閉曲線上の線積分は０になります。したがって与えられた線積分は、残りの
　　　dy/(x+y)
をＣ上で線積分したものと等しくなります。
　あとは、O→A と B→C ，A→B と C→O の対称性を使うともう少しラクになりそうです。

　これで、どうでしょうか。もっといい方法があるかもしれませんが。