線積分

質問

線積分についてわからないところがあるので、教えてください。

XY平面状で原点Oから点A(1,1,0)に至る曲線y=x^3及び、
OからB(1,1,0)を経てAに至る折れ線に関するA→=xyi→＋xj→の線積分を求めよ
という問題なのですが、

線積分の定義により、∫A→・dlなので、
A→・dl=(xyi＋xj)・(dxi＋dyj＋dzk)で=xydx＋xdy
となりますよね？
ここでdy=3x^2dxなので、
上式=x^4dx＋3x^3dxとなりますよね？
でも、未だに線積分の積分区間が良く理解できないので、
ここで行き詰ってしまいます。
このあとはどうすればよいのでしょうか？
あと、折れ線のほうはどうすれば良いのでしょうか？

回答No.1

shkwta

A→・dl=xydx＋xdy　[1]
この式の意味は、xがdxだけ増加し、yがdyだけ増加すると線積分はxydx＋xdyだけ増加する、という意味です。つぎに、

dy=3x^2dx　[2]
これは、xがdxだけ増加すると、yは 3x^2dx だけ増加するという意味です。

[1]と[2]を合わせて、線積分をxの変化だけで表わしたのが、

A→・dl=x^4dx＋3x^3dx　[3]
これは、xがdxだけ増加すると、線積分がx^4dx＋3x^3dxだけ増加するという意味です。つまり、xの変化だけで表わすことができたので、積分区間の始点・終点は、曲線の始点、終点に対応するxをとればよいのです。

折れ線の場合も同様です。ただ、B(1,1,0)はAと同じ点なので、写しまちがいかもしれません。