線積分について

質問

Cを｛x=3-t,y=3,(0≦t≦3)}という線分としたとき、線積分∫c y/(x^2＋y^2)dx＋(-x)/(x^2＋y^2)dyの値を求める問題なのですが、答えは-π/4なのですが自分でやるとどうしてもπ/2になってしまいます。
原因がわからないので解答お願いします

回答No.2

proto

x=3-t,y=3の関係から線積分をtについての積分に変換すると。
dy/dt=0より、dyについての項は消えて、
dx/dt=-1より
　　(与式) = ∫[0→3]{-3/((3-t)^2+3^2)}dt
　　= [0→3]{-arctan((t-3)/3)}
　　= -arctan((3-3)/3) - (-arctan((0-3)/3))
　　= -π/4
です
たぶん-3/((3-t)^2+3^2)の積分のところですね。

arctan((t-3)/3)を微分すると
　　(d/dt)arctan((t-3)/3) = 3/((t-3)^2+3^2)

次にarctan((3-t)/3)を微分すると
　　(d/dt)arctan((3-t)/3) = {3/((3-t)^2+3^2)}*(-1)
(3-t)となっている場合、合成関数の微分の考えから最後に-1が掛かります。
(t-3)^2=(3-t)^2なので油断しがちですが、微分してみると結果が違う。
もちろん積分するときも違ってくるので注意が必要です。

回答No.1

mazoo

回答の前に
どうしてπ/2になってしまうのか教えていただけませんか？