U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合になるのは何故?

質問

連続の問題です。

[問]E⊂R:実数体,f:E→Rとする時、
R⊃∀F:閉集合に対しf^-1(F)はEの閉集合⇒fがEで連続

を解いています。
∀U⊂Rを開集合とするとU^cは閉集合となる。
x∈f^-1(U^c)
⇔f(x)∈U^c
⇔￢(f(x)∈U)
⇔￢(x∈f^-1(U))
⇔x∈(f^-1(U))^c
よって(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)は閉集合である。f^-1(U)は閉集合だからfは連続。

という証明を見つけました。

ところで
(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)となる事は分かったのですが

U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合
になるのは何故なのでしょうか?

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合
>になるのは何故なのでしょうか?
問題文を読み返して下さい。それがf に対する前提です。

お礼

早合点してました。
お陰様で納得できました。どうもありがとうございました。

回答No.3

kabaokaba

>U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合
問題文の前提なのですが・・・

仮定：任意の閉集合 F に対して，f^-1(F) は閉集合
結論：f は連続
証明：U を任意の開集合とする．
f^{-1}(U) が開集合であることを示せば f は連続となるので，
それを示す．
U^c は閉集合なので，f^{-1}(U^c) は閉集合（仮定より）
一方，(f^-1(U))^c=f^-1(U^c) なので（注意：これは開集合とか閉集合に関係なく，任意の部分集合について成り立つ，逆像の性質），
(f^-1(U))^c は閉集合．
つまり f^-1(U) は開集合.

お礼

ご詳細なご説明誠に有難うございます。
お陰様で納得できました。

回答No.2

zk43

まず、fは閉集合を閉集合に引き戻すという問題の前提があり、したが
って、f^-1(U^c)は閉集合であるという前提があります。
そして、(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)であることがわかったから、
(f^-1(U))^cは閉集合であり、したがって、その補集合f^-1(U)は開集合
です。（f^-1(U)は閉集合という記載がありますが、閉集合ではなく、
開集合です。）
よって、fは開集合を開集合に引き戻すことがわかったから、fは連続で
あるといえます。（一般に、位相空間の間の写像が連続であるとは、
開集合を開集合に引き戻すことであると定義されます。）
この問題によって、閉集合を閉集合に引き戻す写像も、連続であるとい
えます。

お礼

ご詳細なご説明誠に有難うございます。
お陰様で納得できました。