R⊃E:有界、そして関数f:E→RがEで一様連続⇒fはEで有界

質問

宜しくお願い致します。

[問]実数体R⊃E:有界、そして関数f:E→RがEで一様連続とする時、
fはEで有界となる事を示せ。

という問題を解いています。

これは仮定"fはEで一様連続"なので
0<∀ε∈R,∃δ＞0; (∀x,y∈E such that |x-y|＜δ) ⇒ |f(x)-f(y)|＜ε と言
え、
このεとして2Mを採れば
2M＞0,∃δ>0; (∀x,y∈E such that |x-y|＜δ) ⇒ |f(x)-f(y)|＜2M
と書けますね。

そして、∀x∈E; |f(x)|＜2M+|f(y)|と書けますが
ここでの∀x∈Eは|x-y|＜δという制限付きでの∀x∈E、
つまり、∀x∈E such that |x-y|<δですから全てのEの元を網羅してる訳では有りませんよね?

従って、∀x∈E; |f(x)|＜2M+|f(y)|で全てのx∈Eで抑えれると都合よくは書けないと思うのですが。。。

如何でしょうか?

回答No.2

adinat · ベストアンサー

Eのすべてを網羅できないのはその通りだけれど、Eは有界ですからねえ。幅δを有限倍すればEは覆われるわけですから、そういう議論で証明できるでしょう。xをどこか適当に取る。そこからδ以内の点はf(x)+εを超えない。特にf(x+δ/2)≦f(x)+ε。xをx+δ/2に取り替えて同じ議論をすれば、f(x+δ)≦f(x)+2ε。以下これを繰り返してEの有界性をうまく使ってみてください。

お礼

fは一様連続より
1に対し、|x-y|<δ⇒|f(x)-f(y)|<1
Eは有界なので閉包E^も有界でE^の開被覆として
{(a-δ,a+δ);a∈E}が採れ、
E^はコンパクトなので
(a1-δ,a1+δ),(a2-δ,a2+δ),…,(an-δ,an+δ)で覆え、
∀x∈E,∃k∈{1,2,…,n};|x-ak|<δ
∴|f(x)|≦1+max{|a1|,|a2|,…,|ak|}
と示せました。
どうも有り難うございました。

回答No.1

koko_u_

式変形に囚われすぎだと思います。

E は有界とだけあるので、閉集合とは限りません。
よって f が連続という仮定だけでは「はしっこ」で f(x) がぐんぐん大きくなる可能性があります。

しかし、一様連続性の仮定を置けば、「はしっこ」での増加を大人しく抑えることができるということです。

お礼

fは一様連続より
1に対し、|x-y|<δ⇒|f(x)-f(y)|<1
Eは有界なので閉包E^も有界でE^の開被覆として
{(a-δ,a+δ);a∈E}が採れ、
E^はコンパクトなので
(a1-δ,a1+δ),(a2-δ,a2+δ),…,(an-δ,an+δ)で覆え、
∀x∈E,∃k∈{1,2,…,n};|x-ak|<δ
∴|f(x)|≦1+max{|a1|,|a2|,…,|ak|}
と示せました。
どうも有り難うございました。