偏微分の問題に関する質問です。fはC^2級とします。関数u=f(sqr

質問

偏微分の問題に関する質問です。fはC^2級とします。関数u=f(sqrt(x^2+y^2))とし、また
r=sqrt(x^2+y^2)とおきます(r>0)。このとき、uをx,yで偏微分したときの１次、２次の偏導関数はそれぞれどのようになるでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

合成関数の微分公式を適用するだけです。

u_x=f'(r){(x^2+y^2)^(1/2)}'
　 =f'(r)(1/2)(2x)(x^2+y^2)^(-1/2)
=xf'(r)/r
同様に
u_y=yf'(r)/r

同様に
u_xx=(x^2)f''(r)/(x^2+y^2)+f'(r){x/√(x^2+y^2)}'
=(x^2)f''(r)/(x^2+y^2) + f'(r){(y^2)(√(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^2}
=(x^2)f''(r)/(r^2) + (y^2)f'(r)/(r^3)
u_yy=(y^2)f''(r)/(r^2) + (x^2)f'(r)/(r^3)

u_xy=u_yxは自分で計算して見てください。

お礼

計算してみれば意外と簡単でしたね・・・。詳細な回答ありがとうございました！