C^k級であることの証明

質問

次の定理で、Ｃ^k(Ｒ×Ｒ)であることを証明する方法が分かりません。

n=1,k>1, F,GはＣ^k(Ｒ)とする。
このとき u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct) ,(x,t)はＲ×Ｒ とおくと，
uはＣ^k(Ｒ×Ｒ)であり，uはdu/dt-C^2du/dx=0を満たす。

↑Ｃ^kはk階までの偏導関数が全て存在しそれらが連続という意味で、Ｒは実数、dは偏微分の記号の代わりに使ってます。

このような定理でＣ^k(Ｒ×Ｒ)であることはどのように証明すればいいのでしょうか？？

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

(x,t)|->x+ctや(x,t)|->x-ctはＣ^∞(Ｒ×Ｒ)になることは分かる?
F,G∈Ｃ^k(Ｒ)は仮定だから、後は合成関数のＣ^k級だけどこれは使えるのかな?

お礼

問題解決できました。

連続関数の和が連続関数になることと、偏微分のd/dx{f(x,y)+g(x,y)}=d/dxf(x,y)+d/dxg(x,y)の公式を応用すればよかったようです。

考えていただき、ありがとうございました！

補足

すいません、よく分からないです(T_T)
x+ctはＲ×Ｒだから、ＦがＣ^k(Ｒ)ならＦ(x+ct)はＣ^k(Ｒ×Ｒ)になるって思ったんですけど、違うんでしょうか？？

合成関数ですか‥試してみます！