R^nのコンパクト集合についての問題（解析学）

質問

「U⊂R^nが開集合、C⊂Uがコンパクトのとき、Uに含まれるコンパクト集合Dで、その内部がCを含むようなものが存在することを示せ。」
（スピヴァック「多変数解析学」12ページ）
という問題の証明を詳しく教えてください。

ちなみに（1)「あるd＞0があって、任意のy∈R^n－U、x∈Cに対して、|y－x|≧dとなる」ということ、「R^nの任意の部分集合にK対して、Kが有界閉集合⇔Kがコンパクト」、ということは分かっていて、ケンタッキー大学のコースで公開されている略解
（http://www.ms.uky.edu/~ken/ma570/homework/hw2/html/ch1b.htmの一番下の部分）を見ると（dは(1)のdとして）
D＝｛y∈R^n;∃x∈C∋|y－x|≦d/2｝とすると題意のDが得られるということなのですが（D＝｛y∈R^n;∃x∈C∋|y－x|≦d/2｝はD＝｛y∈R^n;∃x∈C |y－x|≦d/2｝の誤表記？）、Dが閉集合であるということが証明できませんでした。逆に、Dが閉集合であることの証明を教えて頂ければ後は分かります。（回答の手間を少し省ければと思って載せただけなので、解答のやり方でなくても全然構いません。）

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

では別の方法で証明してみます。R^nにおけるコンパクト集合上の連続関数は最大値、最小値を持つことを利用します。

Dの補集合から一点zをとります。zのまわりのある開近傍Vが存在してVがその補集合に含まれることを示せばよいです。さてR^n上の関数f(x):=|z-x|を考えます。これはR^n上連続です（距離空間上の距離関数は連続）。従ってC上で最小値を持ちます。その最小値をmとおくとzの取り方よりm＞d/2。そこでε=(m-d/2)/2とおくと|z-z'|＜εを満たすz'に対して|z'-x|≧|z-x|-|z-z'|＞m-ε=m/2+d/4＞d/2です。

お礼

再度丁寧な回答ありがとうございます、理解できました。この問題より後のページでしたが、今度はR^nにおけるコンパクト集合上の連続関数は最大値、最小値を持つことも載っていました。

回答No.3

graphaffine

Cの閉包をDとすれば終わりじゃないの。
一般の位相空間ではなりたたないだろうけど、ユークリッド空間だから問題ないよね。

お礼

Cが閉集合なので、Cの閉包はC自身ということになってしまうように思いました。
実は閉包という概念も本書には載っておらず、今別の本に目を通して確認したばかりなので、私が間違っているだけかもしれませんがその場合はご容赦願います。

回答No.1

ringohatimitu

Cが点列コンパクトであることは認めていいですか？すなわち、「任意の点列{x_j}⊂Cから(Cの中で)収束部分列を取り出すことが出来る」という性質です。距離空間においてはコンパクトであることと同値になります。距離空間でなければ互いに異なる性質となります。今の場合はR^nなので点列コンパクトであると言い換えられます。
まずy_j→yとします。各y_jに対してあるx_j∈Cが存在して|y_j - x_j|≦d/2となりますが{x_j}から収束部分列を取り出してそれを改めて{x_k}、収束先をx∈Cとおきましょう。このとき対応する{y_k}は当然yに収束しますが|y-x|≦d/2であることは明らかです。よってCは閉集合ですね。

お礼

回答ありがとうございます、（他の教科書で、R^nにおいての点列や全有界等の性質を確認してですが）理解できました。
ただ、この教科書では点列コンパクトどころか、R^nにおいての点列すら定義されていないので、できれば点列コンパクトを使わない証明を教えてほしいです。