数学Ａ 集合

質問

今高１ですが、大学進学を考えているので
大学の入試問題を解いています。

解答を見てもわからない問題があるので、教えて下さい！

分からないところは
ｆ（ｇ（ｘ））とｇ（ｆ（ｘ）） がどういう意味なのかです。

問題は、

２つの関数ｆ（ｘ）＝－ｘ＋３，ｇ（ｘ）＝ｘ＾２＋５ を考える。
－５０以上５０以下の整数の集合
Ａ＝｛－５０，－４９，・・・，－１，０，１，・・・，５０｝
に対し、２つの集合ＢとＣを
Ｂ＝｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈Ａ｝，　Ｃ＝｛ｇ（ｘ）｜ｘ∈Ａ｝
により定める。集合Ｍの要素の個数をｎ（Ｍ）で表す。

Ｄ｛ｆ（ｇ（ｘ））｜ｘ∈Ａ｝,　Ｅ＝｛ｇ（ｆ（ｘ））｜ｘ∈Ａ｝
によって集合Ｄ,Ｅを定めるとき、ｎ（Ｄ）， ｎ（Ｅ）を求めよ。

という問題です。

解答は

集合Ｄは、
Ｄ＝｛ｆ（ｇ（ｘ））｜ｘ∈Ａ｝＝｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈Ｃ｝
と考えられるが、ｘが異なればｆ（ｘ）の値は異なるから、
ｎ（Ｄ）＝ｎ（Ｃ）＝５１

集合Ｅは、
Ｅ＝｛ｇ（ｆ（ｘ））｜ｘ∈Ａ｝＝｛ｇ（ｘ）｜ｘ∈Ｂ｝
集合Ｂは－４７以上５３以下の整数の集合で、絶対値の異なる整数は５４個ある。よって、
ｎ（Ｅ）＝５４

です。

２００３年の近畿大学・理工学部の改題らしいです。

長くなってすみません<(_ _)>
おねがいします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

f(x) = -x + 3において、例えばf(1), f(-5), f(a)は

f(1) = -1 + 3
f(-5) = -(-5) + 3
f(a) = -a + 3

のように計算しますよね。
f(g(x))もこれと同じように考えれば良いんです。
つまり

f(g(x)) = -g(x) + 3

となります。
g(x) = x^2 + 5なので、最終的に

f(g(x))
= -g(x) + 3
= -(x^2 + 5) + 3
= -x^2 - 2

となります。

g(f(x))も同様に

g(f(x))
= (f(x))^2 + 5
= (-x + 3)^2 + 5

と考えます。

f(g(x))は「数xに関数gの計算処理を施し、その後さらに関数fの計算処理を施す」、
g(f(x))は「数xに関数fの計算処理を施し、その後さらに関数gの計算処理を施す」
と考えても良いです。
このあたりのことは「合成関数」や「合成写像」といったキーワードで調べてみるとよいかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます！！

ただ関数が２つつながっていただけなんですね。

入試問題だと思って難しいと思って解いたのでできませんでしたが、

こうして簡単に解説して頂けたら、とても簡単な問題になりました！！

分かって本当にうれしいです。