C1級の連続を示す問題です。よろしくお願いします。

質問

GをR^nの開集合で、写像f:G→R^nはGでC1級とする。Gの点a=(a1,...an)でf ’(a)が正則ならば、aの開近傍Uとb=f(a)の開近傍Wが存在する。
このとき、a=0,f(0)=0,fはC1級、ｆ’(0)=mとして考える。但し、m はR^n上の恒等変換である。

問題
B={xはR^nの要素:||x||≦L}。但し、BはGに含む。x=(x1,x2,.....xn)で、Lは正の定数。
このとき、L>0を十分小さく取ると、任意のBの要素xに対して、
||ｆ’(x)-m||≦1/2
となることを示せ。
という問です。
c1級より、微分可能で、１次導関数が連続から、どのように式を変形し、証明をして行けばよいのでしょうか？
教えて下さい。お願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

「f'(0)=mとして考える。ただし,mはR^n上の恒等変換である」は意味不明です
f':R^n→R^n
f'(0)∈R^n
なので
f'が線形写像となることはあり得るが
特に断り書きがない限り
次元の異なる
R^nの元f'(0)とR^n上の恒等変換mを=で結ぶことはできません

「f'(a)が正則」は意味不明です
f':R^n→R^n
f'(a)∈R^n
なので
f'が線形写像(正則行列表現)となることはあり得るが
特に断り書きがない限り
R^nの元f'(a)をR^n上の線形写像(正則行列表現)とすることはできません。

任意のε>0に対してδ>0が存在して
||x||<δとなる任意のxに対して||f'(x)-f'(0)||<ε
となるとき1次導関数f'(x)はx=0で連続という
連続の定義から
1次導関数f'(x)がx=0で連続であれば
連続の定義で
ε=1/2
δ=L
とすればそれが答えとなります。