なぜ置き換えなければならないのか

質問

超基礎的なことで申し訳ないのですが、例えば、

「2つの2次方程式 2x^2+kx+4=0, x^2+x+k=0 が共通の実数解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。」

という問題の解き方は、

「2つの方程式の共通解をx=αとし、それぞれの式にx=αを代入しする。
代入した後の式2つを、α,kについての連立方程式とみて解く。」

とあり、（黄チャート。）
その後の解答も理解できるのですが、なぜx=αと置き換える必要があるのでしょうか？

初めから、与式2つをxとkについての連立方程式と見てやってはダメなのでしょうか？
その理由も教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

＞　初めから、与式2つをxとkについての連立方程式と見て・・・
というのは全然OKだと思います。
ただ、連立方程式の解き方を模範解答（黄チャートの）と同じようにしようとすると、途中で少々怪しい箇所もあるような気がするので気をつけた方が良いかもしれません。

f(x) = 2x^2+kx+4
g(x) = x^2+x+k
として、
f(x) = 0 　・・・(1)
g(x) = 0　 ・・・(2)
を同時に満たす実数解k,xを求める。
（多分　黄チャートの回答だと）(1)式から(2)式の２倍を引いて
f(x) - 2 g(x) = (k-2)x -2(k-2) = (k-2)(x-2) = 0
∴ k=2, x=2
k=2のとき、f(x)と2g(x)が同じ関数になる。が、k=2のときf(x)>0なので条件を満たさない。
次に、x=2はy=f(x)とy=2g(x)のグラフの交点のx座標。y=f(x)とy=g(x)の交点ではないし、f(x)=0でもない。この先きちんと対応しないと怪しくなることがあるかも。ま、大概大丈夫だと思いますが。

共通解をx=αとおくと、
f(α)=0 かつ g(α)=0。 f(α)-2g(α)=0を解くと K=2 または α=2
故に、
f(α)=0 かつ g(α)=0 → k=2 または α=2
が成立。この矢印の逆も成立するようにしようとすると、
k=2のときf(x)>0よりαは存在しないので不適
f(2)=0をkについて解けば k = -6
ですから、論理としてはすっきりしていてあまり悩まずに済みますか。

お礼

なるほど、これでもＯＫというのはわかりましたが、色々と面倒そうですね・・・。
ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

非常に良い質問ですね。

出題は「2次方程式が共通の実数解を持つのは」という問いですから、それに沿った解答が模範解答として示されているそれです。

しかし zutto10ban さんがお気付きのように、「x, k の 2変数連立方程式の実数解を求める」と見方をかえても解くことができます。まったく正解です。

あえてアドバイスするのであれば、「2式を連立方程式と見立てて解くことで、k の値を求めることができる」と解答欄に書けば十分です。

お礼

回答ありがとうございます。
安心いたしました。＾＾

補足

追伸：koko_uさんには確か以前も回答をいただきましたが、簡潔でわかりやすかったので記憶に残っておりました。ありがとうございました。

回答No.2

take_5

＞初めから、与式2つをxとkについての連立方程式と見てやってはダメなのでしょうか？

厳密にはだめでしょうね。
何故なら、2つの2次方程式 2x^2+kx+4=0, x^2+x+k=0 は全ての実数xについて成立するだけで、（x=αという特殊解について）2つの方程式が共通解αを持つから、αが2つの方程式：2α^2+kα+4=0, α^2+α+k=0 を満たし、且つ、共通解αを持つと考えるのが適当です。

数学は、結果（答）があっていれば良いというわけにはいかないです。
結果も大事ですが、そこへのプロセスがより大事ですから。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になります。

回答No.1

noname#46689

こんにちは。

別に質問者様の様に解いて問題ないのでは…　当然答えは一緒だし。
ただ「共通解をαと置く」と宣言すると、解答を見ている方も分かりやすいし解く方もも論理がより明瞭になる？　感じがしますよね。

αと置き換えないと、テストで原点される？　変な採点管なら減点するかもね。でもXのままだって論理を間違えなく記述すれば減点しようがないよね。

お礼

回答ありがとうございます。

もしかして、無数にある「x」という集合の中の、2式の共通解というのが「α」なのでしょうか？？つまりxの表す意味とαの表す意味って違うんでしょうか？自分は全く同じことだと思ってたんですけど、考え直したらそう思えてきました。

解答部分の一行目は、
「共通解をx=αとすると、」
で始まっているのですが、この「x=α」というのはxの場所をαに置き換えるよという意味で、厳密に考えるとxとαの表す意味は違う意味なんでしょうか？

＞＞でもXのままだって論理を間違えなく記述すれば減点しようがないよね。

これはx＝αと置かないと記述が面倒臭くなるということでしょうか？

う～ん、くだらないこと？で非常に混乱しています。。。