数学Iの２次方程式の所で、共通解の問題です。
数学Iの２次方程式の所で、共通解の問題です。
[問題]
２つの２次方程式x^2+kx+1=0、x^2-x-k=0が共通な実数解をもつように定数kの値を定めよ。また、このときの共通解を求めよ。
※解答の中で疑問な事を書きます。
[解答]
共通解をαとおいて、2つの方程式に代入すると
α^2+kα+1=0…(1)
α^2-α-k=0…(2)
※ここで疑問です。
共通な実数解をもつ…共通解は１つでも２つでもOK。
共通な実数解を１つもつ…共通解は１つ。
このように問題提示によって違いがあります。
この問題は前者です。
しかし、いろんな参考書を調べても、共通解をαと置いてあり、共通解がαという1つだけだと想定してあるような気がします。しかし、仮に２つの共通解のうちもう１つをβとする。としても、答えは同じですが。
これはなぜαだけとしてOKなのでしょうか?
解答を続けます。
(1)-(2)より
※途中式省略
k=-１またはα=-１
（1）k=-1のとき
(1)、(2)のいずれに代入しても α^2-α+1=0
判別式より、これは実数解をもたないから不適。
（2）α=-1のとき
(1)、(2)のいずれに代入してもk=２
よって、（1）、（2）より
k=２、共通解は-１
※ここで疑問です。
この解答ではkもαも2式に代入してありますが、問題によって、kやαが１つの式にしか代入してない場合があります。
しかしkについては、この場合はkを代入して同じ式になりましたが、2式が違う式になる場合があるはずですよね。その場合、2式を解いて共通解を持つか確かめなければいけないから、kは2式に代入した方がいいですよね?
αについては、問題によって、多分kの値さえ分かればいいから１つの式に代入し、kを元の式に代入して本当にその共通解を持つか確かめてあります。でも一応αも２つに代入した方がいいですか？
ってかどんなときは１つに代入でOKなのでしょうか?
もうとりあえず２つに代入した方が無難だと思いますが。
また、αを代入して、もしkが違う値になったとします。定数kは同じ値じゃないといけないから、この場合は不適ですよね?
最後に、話は反れますが、範囲のある定数と範囲のある変数についてです。
定数はその範囲内でどんな値も取れるが、ある１つの数しか取れない。
変数はその範囲内で自由に動けるので、値は定まらない。つまり１つしか取れないわけではない。
みたいな解釈でOKですか?
お礼
わかりやすい解説ありがとうございます