[1]は普通にたすき掛けで解いているのですが、[2]は二つの式の共通解をαと置いて(ここまでは分かるのですが)そのあとに連立しています。
[1]では[2]と違って、問題の数字的にたまたまたすき掛けが使えたから連立しなかったのでしょうか？
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考え方は、あっています。
たすき掛けで解いている。
⇒ 因数分解して、２次方程式を解く。
たすき掛けで解けない。
⇒ 解の公式を使って、２次方程式を解く。
ことになります。
『たすき掛け』を使って、解けるか解けない
（『因数分解を』して、２次方程式が解けるか解けない）
かの違いだけです。
[１] は kx^2+(1－2k)x－2=0 ・・・・・・（ア）
(x-2)(kx+1)=0
x=2,-1/k
と因数分解して解くことができます。
（ア）の解を α，β とするから
(i) β=2 （共通解が 2）の場合と
(ii) β=-1/k （共通解が -1/k）の場合があります。
これを、もう一つの２次方程式
x^2－2(k+1)x+4k=0 ・・・・・・（イ）（← 因数分解できるのですが・・・）
に代入して、β の値を求めます。
(i) β=2 の場合
（イ）の左辺に代入して
2^2-4(k+1)+4k
=4-4k-4+4k
=0
よって、 β=2 は（イ）の解である。
(ii) β=-1/k の場合
（イ）に代入して
(-1/k)^2-2(k+1)×(-1/k)+4k=0
(1/k^2)+2+(2/k)+4k=0 （この式でもよいです）
両辺に k^2 を掛けて
1+2k^2+2k+4k^3=0
4k^3+2k^2+2k+1=0 ・・・・・・（ウ）
ここで、 k>1 だから
4k^3>0, 2k^2>0, 2k>0, 1>0
よって
4k^3+2k^2+2k+1>0
となり、（ウ）を満たす k は存在しない。
（β=-1/k はこの２次方程式の解ではない。）
したがって、共通解は存在しない。
(i)，(ii)より
β=2
と、解くことができます。
ここで、 『 2 』は明らかに『 数 』ですね。
また、『 -1/k 』も『 数 』として計算して（考えて）います。
数学の便利なところは、
『 文字 』を『 数 』とみなして考えることができる。
ということです。
[１] は共通解が β であるから、２つの式に代入します。
（β を 数 とみなして解きます）
kβ^2+(1-2k)β-2=0 ・・・・・・（エ）
β^2-2(k+1)β+4k=0 ・・・・・・（オ）
（エ）より
kβ^2=-(1-2k)β+2 ・・・・・（エ）’
（オ）より
β^2=2(k+1)β-4k
両辺に k をかけて
kβ^2=2k(k+1)β-4k^2 ・・・・・・（オ）’
（エ）’、（オ）’より
-(1-2k)β+2=2k(k+1)β-4k^2
-β+2kβ+2=2k^2β+2kβ-4k^2
2k^2β+β-4k^2-2=0
(2k^2+1)β-2(2k^2+1)=0
(2k^2+1)(β-2)=0
2k^2+1>0 だから
β=2
というように、
[２] と同じように、連立方程式を使って解くこともできます。
[２] は因数分解できないから、解の公式を使って、
x^2－2kx+k=0 を解くと、
x=[-(-2k)±√{(-2k)^2-4・1・k}]/2・1
={2k±√(4k^2-4k)}/2
={2k±2√(k^2-k)}/2
=k±√(k^2-k)
共通解は
x=k±√(k^2-k)
ですね。
たとえば、
(i) 共通解を x=k+√(k^2-k)・・・・・・（カ）
として、もう１つの式に代入すると、
{k+√(k^2-k)}^2-(k-1){k+√(k^2-k)}-k^2=0
k^2+2k√(k^2-k)+k^2-k-k(k-1)-(k-1)√(k^2-k)-k^2=0
k^2+2k√(k^2-k)+k^2-k-k^2+k-(k-1)√(k^2-k)-k^2=0
(k-1)√(k^2-k)=0
k-1=0 または √(k^2-k)=0
k-1=0 のとき
k=1
√(k^2-k)=0 のとき
k^2-k=0
k(k-1)=0
k=0, 1
よって、
k=0, 1
k=0 のとき、共通解は（カ）より
x=0
k=1 のとき、共通解は（カ）より
x=1+√(1^2-1)=1
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
と、解いていくわけですが、
これは、明らかに、
《大変》
ですね。
だから、[２] のような問題のときは、
『 k±√(k^2-k) 』という『 数 』を使うのではなく、
『 文字（α） 』を『 数 』とみなして
《大変さ》をなくすために（簡潔に・きれいに）、
解いていくことになります。
長々と、書きましたが・・・・・。
