[1]k>1とする。

質問

[1]k>1とする。
2次方程式 kx^2+(1－2k)x－2=0の2つの解をα,βとする。
2次方程式x^2－2(k+1)x+4k=0の解の1つはβであり、もう 1 つの解をγとする。
βを求めよ。

[2]実数xの方程式x^2－(k－1)x－k^2=0とx^2－2kx+k=0がただ1つの共通解を持つとき、kの値を求めよ。
また、それぞれのkに対応する共通解を求めよ。

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この二つの問題の解き方が解答を見ると全く違い困っています。
[1]は普通にたすき掛けで解いているのですが、[2]は二つの式の共通解をαと置いて(ここまでは分かるのですが)そのあとに連立しています。
[1]では[2]と違って、問題の数字的にたまたまたすき掛けが使えたから連立しなかったのでしょうか？
それとも[1]と[2]は全く違う問題なのでしょうか？
詳しい解説お願い致します。

ちなみに

[1]の解答は

β=2

[2]の解答は

k=0のとき共通解x=0
k=1のとき共通解x=1

です。

回答No.2

atkh404185

[1]は普通にたすき掛けで解いているのですが、[2]は二つの式の共通解をαと置いて(ここまでは分かるのですが)そのあとに連立しています。
[1]では[2]と違って、問題の数字的にたまたまたすき掛けが使えたから連立しなかったのでしょうか？

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考え方は、あっています。

たすき掛けで解いている。

⇒　因数分解して、２次方程式を解く。

たすき掛けで解けない。

⇒　解の公式を使って、２次方程式を解く。

ことになります。

『たすき掛け』を使って、解けるか解けない
（『因数分解を』して、２次方程式が解けるか解けない）

かの違いだけです。

[１] は　 kx^2+(1－2k)x－2=0 ・・・・・・（ア）
(x-2)(kx+1)=0
x=2,-1/k

と因数分解して解くことができます。

（ア）の解を α，β とするから

(i) β=2 （共通解が 2）の場合と

(ii) β=-1/k （共通解が -1/k）の場合があります。

これを、もう一つの２次方程式
x^2－2(k+1)x+4k=0 ・・・・・・（イ）（← 因数分解できるのですが・・・）
に代入して、β の値を求めます。

(i) β=2 の場合
（イ）の左辺に代入して
2^2-4(k+1)+4k
=4-4k-4+4k
=0

よって、 β=2 は（イ）の解である。

(ii) β=-1/k の場合
（イ）に代入して
(-1/k)^2-2(k+1)×(-1/k)+4k=0
(1/k^2)+2+(2/k)+4k=0 （この式でもよいです）
両辺に k^2 を掛けて
1+2k^2+2k+4k^3=0
4k^3+2k^2+2k+1=0 ・・・・・・（ウ）

ここで、 k>1 だから
4k^3>0, 2k^2>0, 2k>0, 1>0
よって
4k^3+2k^2+2k+1>0
となり、（ウ）を満たす k は存在しない。
（β=-1/k はこの２次方程式の解ではない。）
したがって、共通解は存在しない。

(i)，(ii)より
β=2

と、解くことができます。

ここで、 『 2 』は明らかに『 数 』ですね。
また、『 -1/k 』も『 数 』として計算して（考えて）います。

数学の便利なところは、

『 文字 』を『 数 』とみなして考えることができる。

ということです。

[１] は共通解が β であるから、２つの式に代入します。
（β を 数 とみなして解きます）

kβ^2+(1-2k)β-2=0 ・・・・・・（エ）
β^2-2(k+1)β+4k=0 ・・・・・・（オ）

（エ）より
kβ^2=-(1-2k)β+2 ・・・・・（エ）’
（オ）より
β^2=2(k+1)β-4k
両辺に k をかけて
kβ^2=2k(k+1)β-4k^2 ・・・・・・（オ）’

（エ）’、（オ）’より
-(1-2k)β+2=2k(k+1)β-4k^2
-β+2kβ+2=2k^2β+2kβ-4k^2
2k^2β+β-4k^2-2=0
(2k^2+1)β-2(2k^2+1)=0
(2k^2+1)(β-2)=0
2k^2+1>0 だから
β=2

というように、
[２] と同じように、連立方程式を使って解くこともできます。

[２] は因数分解できないから、解の公式を使って、
x^2－2kx+k=0 を解くと、
x=[-(-2k)±√{(-2k)^2-4・1・k}]/2・1
={2k±√(4k^2-4k)}/2
={2k±2√(k^2-k)}/2
=k±√(k^2-k)

共通解は
x=k±√(k^2-k)
ですね。

たとえば、

(i) 共通解を x=k+√(k^2-k)・・・・・・（カ）
として、もう１つの式に代入すると、

{k+√(k^2-k)}^2-(k-1){k+√(k^2-k)}-k^2=0
k^2+2k√(k^2-k)+k^2-k-k(k-1)-(k-1)√(k^2-k)-k^2=0
k^2+2k√(k^2-k)+k^2-k-k^2+k-(k-1)√(k^2-k)-k^2=0
(k-1)√(k^2-k)=0
k-1=0 または √(k^2-k)=0

k-1=0 のとき
k=1
√(k^2-k)=0 のとき
k^2-k=0
k(k-1)=0
k=0, 1
よって、
k=0, 1

k=0 のとき、共通解は（カ）より
x=0

k=1 のとき、共通解は（カ）より
x=1+√(1^2-1)=1
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
と、解いていくわけですが、

これは、明らかに、

《大変》

ですね。

だから、[２] のような問題のときは、

『 k±√(k^2-k) 』という『 数 』を使うのではなく、

『 文字（α） 』を『 数　』とみなして

《大変さ》をなくすために（簡潔に・きれいに）、

解いていくことになります。

長々と、書きましたが・・・・・。

回答No.1

noname#223095

＞[1]では[2]と違って、問題の数字的にたまたまたすき掛けが使えたから連立しなかったのでしょうか？

はい，そういうことです．[1]の解は２と‐1/kで簡単な式で表されます．しかし，[2]の場合は，[1]の場合のように解がkの簡単な式としては表すことができません．だから，お示しのような解法をとっています．「共通解の問題」という意味では，どちらも同じテーマですが，解法という意味ではまったく変わってきます．解法的には[2]の方がややレベルが高く，その意味で大事と言えるでしょうか．

参考になりましたら．