二次方程式 共通解の問題

質問

２つの二次方程式、ｘ＾２＋２ｍｘ＋１０＝０、ｘ＾２＋５ｘ＋４ｍ＝０がただひとつの共通な実数解をもつとき、定数ｍの値とその共通解を求めよ。
共通解をαとおいて、αと定数ｍの連立方程式を解いて出た答えの、ｍ＝5/2、α＝２をなぜそのまま答えとしてはいけないのか、その理由を教えてください。
答えはmが－7/2、αが２。
ｍ＝5/2を代入したら判別式が＜0になるからとかそういうことは聞いてません。
ちゃんとした理由がほしいので詳しい回答お願いします。

回答No.5

spring135

＞２つの二次方程式、

ｘ＾２＋２ｍｘ＋１０＝０ (1)

ｘ＾２＋５ｘ＋４ｍ＝０　　　　(2)

がただひとつの共通な実数解をもつとき、定数ｍの値とその共通解を求めよ。

解に対する条件は2つです。

1）(1)、(2)が実数解をもつ

2）(1)、(2)が唯一の共通解をもつ

最初に考慮すべきは1)です。この条件下に共通解を求めるべきです。

「解答」

(1)の実数解条件

D=m^2-10≧0

m≧√10またはm≦√10　　　(3)

(2)の実数解条件

D=25-16m≧0

m≦25/16　　　　　　　　(4)

(3)、(4)より

m≦-√10　　　　　　　　　　(5)

(1),(2)が唯一の共通解をもつ条件:

共通解をαとするとこれは(1)、(2)を満たすので

α＾２＋２ｍα＋１０＝０ (6)

α＾２＋５α＋４ｍ＝０　　　(7)

(6)－(7)：

2mα+10-5α-4m=0

(α-2)(2m-5)=0

(5)の条件下において

2m-5≠0

よって

α＝2

これを(6)または(7)に代入して

m=-7/2

これを(1)、(2)に代入して

(1)：x^2-7x+10=(x-2)(x-5)=0

ｘ＝2または5

(2)：x^2+5x-14=(x-2)(x+7)=0

ｘ＝2または-7

たしかにx=-2を唯一の共通解に持つ。

回答No.4

akinomyoga

> 共通解をαとおいて、αと定数ｍの連立方程式を解いて出た答えの、ｍ＝5/2、α＝２

既にNo.1の方も説明されていますが、その様な答えは出ません。途中で式変形を誤っています。

> なぜそのまま答えとしてはいけないのか、その理由を教えてください。

誤った式変形によって導き出した解答だからです。

正しく答えるとしたら以下の様になるでしょう。
-----
方程式
　x^2+2mx+10=0,　…(1)
　x^2+5x+4m=0.　…(2)
(1)-(2) より、
　(2m-5)(x-2) = 0,
　∴ m=5/2 または x=2.　…(3)

(※ここで場合分けをする必要があります。)

(I) m=5/2 の場合
　x^2+5x+10=0,　…(1')
　x^2+5x+10=0.　…(2')

(※未だこの時点では唯一つの共通解を持つ可能性は残されています。重解の場合がありますから。)

二次方程式(1')(2')の判別式Dは
　D = 5^2 - 4×10 = -15 < 0.
よって二次方程式は複素数解を2つ持つ。実数解は持たないので問題の条件を満たさない。

(II) x=2 の場合
x=2 を(1)に代入すると、
　4+4m+10=0,
　∴m=-7/2.
実際に (x, m) = (2, -7/2) を代入すると(1), (2)の両方程式は成立する。
また、(3)より共通解が存在するとしたら x=2 以外にないという事が分かっているので、共通解は x=2 唯一つである。

答え: m=-7/2, x=2■.
-----

回答No.3

asuncion

m = 5/2
とすると、
2つの方程式は、どちらも
x^2 + 5x + 10 = 0
となります。

よって、

＞ただひとつの共通な実数解をもつ

という条件に明らかに反します。

回答No.2

Willyt

ｍ＝５／２　のときには二つの放物線が同じものになり、その解があるときは二つとも同じ解になりますから題意に反することになるから不可なのです。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
答えだけで解説はなしですか？

＞ｍ＝5/2を代入したら判別式が＜0になるからとかそういうことは聞いてません。
逆に、実数解を持つ条件として判別式の条件は与えていないのですか？
とすれば、条件不足なだけです。

おそらく、x=αを代入して両辺を差し引いた式から求めたのでしょうが、
(2m-5)(α+2)=0からは、m＝5/2「または」α=-2となります。