数学の問題の解き方がわからないので教えて下さい。

質問

方程式Ｘ２（２乗）－ｋＸ＋ｋ－３＝０は負ではない２つの異なる実数の解をもつという。
ここで、ｋは定数とする。

（１）この方程式の1つの解が他の解より３だけ大きいとき、ｋの値を求めよ。
（２）（１）で得られたｋの値に対し、この方程式の2つの解を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

方程式Ｘ２（２乗）－ｋＸ＋ｋ－３＝０は負ではない２つの異なる実数の解をもつという。
ここで、ｋは定数とする。

>（１）この方程式の1つの解が他の解より３だけ大きいとき、ｋの値を求めよ。
負ではない２つの異なる実数の解をａ，ｂ（ａ＜ｂ）とすると、ａ≧０、ｂ≧０
ｂ＝ａ＋３とおける、
解と係数の関係より、ａ＋（ａ＋３）＝ｋ　ａ（ａ＋３）＝ｋ－３
これらより、ａ（ａ＋１）＝０　ａ≧０より、ａ＝０このとき、ｋ＝３

>（２）（１）で得られたｋの値に対し、この方程式の2つの解を求めよ。
ｘ^2－３ｘ＝０より、ｘ＝０，３

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

yyssaa

以下、２乗を^2(例えばx２乗はx^2)と書きます。
二次方程式x^2-kx+k-3=0の解は、解の公式からx=(k±√(k^2-4*(k-3))/2
=(k±√(k^2-4k+12))/2・・・(ア)となります。
まず、２つの異なる実数の解をもつという条件から√の中は正でなければ
なりませんが、k^2-4k+12=(k^2-4k+4)-4+12=(k-2)^2+8と変形すると、この
√の中の値はkの値にかかわらず常に正であることが分かります。
（１）この方程式の1つの解が他の解より３だけ大きいとき、ｋの値を求めよ。
上記の二つの解の大きい方=(k+√(k^2-4k+12))/2・・・(イ)
　　　　 　〃　　　　　小さい方=(k-√(k^2-4k+12))/2・・・(ウ)ですから、
(イ)ー(ウ)=(k+√(k^2-4k+12)-k+√(k^2-4k+12))/2=√(k^2-4k+12)となり、
√(k^2-4k+12)=3を解いてkを求めます。
両辺を２乗してk^2-4k+12=9→k^2-4k+3=0、左辺を因数分解すると
(k-1)(k-3)=0となるので、答えはk=1とk=3になります。
（２）（１）で得られたｋの値に対し、この方程式の2つの解を求めよ。
k=1の場合
k=1を(ア)式に代入しx=(1±√(1^2-4*1+12))/2=(1±√9)/2=(1±3)/2となり、
x=4/2=2及びx=-2/2=-1となります。
k=3の場合
k=3を(ア)式に代入しx=(3±√(3^2-4*3+12))/2=(3±√9)/2=(3±3)/2となり、
x=6/2=3及びx=0/2=0となります。
よって答えはk=1の場合が２とー１、k=3の場合が３と０になります。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

gohtraw

まず、異なる二つの実数解をもつことから、判別式Ｄ＞０でなくてはなりません。

解の公式よりこの方程式の解は
（ｋ±√（ｋ＾２－４（ｋ－３）））／２
となります。二つの解の差が３ということは、
√（ｋ＾２－４（ｋ－３））＝３
ｋ＾２－４（ｋ－３）＝９
これはｋの二次方程式なので、ｋの値を求めることができます。

あとはｋの値の吟味が必要です。ｋが満たすべき条件は下記の（ａ）および（ｂ）です。
（ａ）上記の判別式＞０
（ｂ）二つの実数解をｐおよびｐ＋３としたとき、この方程式は
（ｘ－ｐ）（ｘ－（ｐ＋３））＝０
と表され、これを展開すると
ｘ＾２－（２ｐ＋３）ｘ＋ｐ（ｐ＋３）＝０
となります。ｐおよびｐ＋３がいずれも負ではない場合、２ｐ＋３＞＝０　かつｐ（ｐ＋３）＞＝０でなくてはならず、元の方程式
ｘ＾２－ｋｘ＋ｋ－３＝０　
と係数を比較すると
ｋ＞＝０　かつ　ｋ－３＞＝０

ｋの値が判ったらあとは元の方程式にｋの値を代入してｘの二次方程式を解くだけです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

kumada-

ヒントだけ。
(1)　一つの解をa（a>0）とくと、もう一方の解は、a+3。よって。これを解にもつ2次方程式は、

　(x-a)(x-a-3)=x^2-(2a+3)x+a^2+3a

と表せる。この式が、与式＝x^2-kx+k-3=0 と一致するので、この2つの式から、aを求めます。その後、kを求めればOK。ちなみに、答えは、k=3。

(2) (1)で小さい方の解がaとして求めたので、もうひとつはa+3 ですよね。

お礼

ご回答ありがとうございました。