数学II 円と直線

質問

御世話になっております。円と直線の基本的な問題なのですが、どうしても途中で？になってしまいます。一応馬鹿なりにやってみたのですが、明らかにおかしい点をご指摘下さると助かります。

問「円x^2+y^2=1と直線y=x+kについて、(1)直線が円に接するときの定数kの値と接点の座標を求めろ」

まず、2式の連立方程式を立てる。

｛x^2+y^2=1…(1) y=x+k…(2)
(2)を(1)に代入して整理し、

2x^2+2kx+(k^2-1)=0

条件「接する」を満たすには、(2k)^2-4・2(k^2-1)を整理して…… -4(k^2-2)=0 となる。

で、この後ですが、kについて解くと、k=±√(2) となりますが、これは間違いでしょうか？ 少なくとも判別式D=0を満たすには、kの解は重解でただ一つの実数解しか得られない気がするのですが…

ちょっと混乱してます。
いずれにしても、この問題の解法は、

(1)円と直線の連立方程式をたて、大抵は代入法で一文字にまとめ、二次式ax^2+bx+c=0にする
(2)条件に則り、判別式を立てて、未定数kを解く。
(3)得たkを二次式に代入してxを得る
(4)直線の方程式にxを代入してyを得る。これが共有点の座標ナリ

何卒ご回答願います。

回答No.1

noname#146604 · ベストアンサー

あってますよ。数学を考えるときは式だけにとらわれず、図もイメージするようにしましょう。

（１）式は「原点を通る半径１の円」
（２）式は「傾き１，切片ｋの直線」

これらが接するということは、円に対して、上側に接する場合と下側に接する場合の2パターンが考えられます。故に、切片ｋが+の時の直線と、切片ｋが-の時の直線の２つがあるので、ｋ＝±√２となってもおかしくないと考えることができます。

お礼

有り難いご回答ありがとうございます

となると、kを二次式に代入してxについて解き、得られた値はD=0で、これを直線の方程式に代入すると、無理数の座標になりますね。

いずれにせよ、一つ道が開けました。図示して確かめてみようと思います。ありがとうございました。

回答No.2

noname#144057

円に対し、y=xを平行移動した直線2本が接するのは自明ではないのかな。

お礼

すいません。馬鹿なので。馬鹿なりに色々試行してみようと思います。