相反方程式の問題を教えてください

質問

相反方程式の問題の解き方を教えてください。「k を実数の定数とする。x の方程式 x^5 + kx^4 + 3kx^3 + 3kx^2 + kx + 1 = 0　……①とする。方程式①は k の値に関係のない解x=−1をもつ。この方程式が実数解をただ 1 つだけもつような k の値の範囲を求めよ。」

回答No.2

f272 · ベストアンサー

私に言わせれば，標準的な問題ですけれど...
とくに目新しい視点が必要な問題ではない。

回答No.1

f272

x^5 + kx^4 + 3kx^3 + 3kx^2 + kx + 1 = 0
x+1で割ってx^4 + (k-1)x^3 + (2k+1)x^2 + (k-1)x + 1 = 0
x=0は解ではないのでx^2で割ってx^2 + (k-1)x + (2k+1) + (k-1)/x + 1/x^2 = 0
x+1/x=tとおいてt^2 + (k-1)t + 2k-1 = 0
方程式①の実数解がただ1つであることと，このtに関する2次方程式f(t)=t^2 + (k-1)t + 2k-1 = 0が実数解を持たないか，|t|<2の範囲のみに実数解を持つことは同値である。

判別式(k-1)^2-4(2k-1)=k^2-10k+5<0つまり5-2√5<k<5+2√5であるときはtの実数解がない。
判別式(k-1)^2-4(2k-1)=k^2-10k+5≧0であるときはtの実数解があるが，f(-2)=4-2(k-1)+2k-1=5>0であるからf(2)=4+2(k-1)+2k-1=4k+1>0かつ-2<-(k-1)/2<2であればその実数解は|t|<2の範囲のみにある。
言い換えると(k≦5-2√5または5+2√5≦k)かつ-1/4<kかつ-3<k<5，つまり-1/4<k≦5-2√5であればその実数解は|t|<2の範囲のみにある。

まとめると-1/4<k<5+2√5であれば方程式①の実数解はただ1つである

補足

回答ありがとうございます。この問題はやや難レベルでしょうか？あまり問題集などで見かけない問題です。