高１です。数IIの方程式の問題でわからないところが

質問

高１で、ニューアクションβII+Bをやってます。
練習20に
6x＾2-7xy-3y＾2-x+ky-2がx,yの１次式の積となるように定数kの値を求め、x,yの１次式の積の形で表せ。
ってあります。
最初の質問ですが、
「x,yの１次式の積の形で」・・とありますが、(x-●+▲)(y+◆-★)みたいな形はもちろん、●(x+★)(y-◆-■)みたいな形になることもありえるのでしょうか。●や▲は代数です。
次が一番の質問です。
模範解答の流れを大まかに説明しますと、
(1)与式=0とおく
(2)xについて整理する
(3)判別式をDとして判別する。※Ｄ=121y＾2-(24k-14)y+49となった。
・・・が途中までの流れでその次に、
「与えられた式がx,yの１次式の積となることから、Ｄはyにつちて完全平方式となる。よってＤ=0の判別式をＤ1とするとＤ1=0」
となり、k=7,-35/6と答えがでて、与式にそれぞれ代入して回答完了なんですが、「与えられた式が・・・・・・・D1=0」となる理由・意味がわかりません。なぜ完全平方式にならなければならないのでしょうか。教えて下さい。またかぶるかもしれませんが、与式を判別したDの式をさらに判別式D1で判別するのでしょうか。こんな作業初めてです。

別件で、この問題と関係ないですが、1-√5と-√2を数直線上に表すとき代償はどう見極めたらいいでしょうか。やっぱり√2＝1.4142・・・というかんじで全部覚えないとわからないんでしょうか。
√5も√2も近似値はなんとなくで覚えてるのですが、微妙な大きさの差で大小を逆に考えてて×になった問題が過去にありました。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

#2です。

まず、これが解の公式に則って解くということが分かったなら
手を動かしてみてくださいね。
理解するしないはともかく、勉強の第一歩ですよ。
（というか理解しても手を動かさないなら数学は解けません）

6x＾2-7xy-3y＾2-x+ky-2

xでまとめると

6x＾2-(7y+1)x-3y＾2+ky-2

解の公式に当てはめると

x=[(7y+1)±√{(7y+1)^2+4*(3y^2-ky+2)}]/12

もし、√の中が平方式で無いなら因数分解すると

[x-(7y+1)/12+√{(7y+1)^2+4*(3y^2-ky+2)}/12][…

このままではとてもx,yの一次式とは言えませんね。
√が消えて

(x-●y+▲)(x+◆y-★)

の形になって初めてx,yの一次式と言えます。そのためには
√が消える必要があります。

お礼

やっと理解できました。2度も詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

age_momo

>「x,yの１次式の積の形で」・・とありますが、(x-●+▲)(y+◆-★)みたいな形はもちろん、
>●(x+★)(y-◆-■)みたいな形になることもありえるのでしょうか。●や▲は代数です。

与式は

6x＾2-7xy-3y＾2-x+ky-2

とx^2,y^2がある形ですので有り得ません。どちらにもx,yが必要です。

問題がいっていること、何をしなければいけないかを把握してください。
この場合、最初の判別式は2次方程式の解の公式のルートの部分に焦点を
当てているだけです。例えば

x^2-2x-4=0　・・・・（1）

は解の公式を使うと

x=1±√5

これを元に（1）は

(x-1-√5)(x-1+√5)=0

と因数分解できます。しかし、問題はx、yの一次式の積の形でと言っているので
√が残るのは題意にあいません。√の中味が２乗の形で解消できることが
必要です。なので完全平方式になる必要があるといっているのです。
完全平方式になることと判別式D1=0は同じことです。（同値）
判別式の中味に判別式を使うこと自体、問題によってはありえることですが、
今の場合はむしろ解の公式の√の中味に判別式を使っているというのが
正しいでしょう。

√2や√5などはある程度覚えて損はないですが、いざとなれば筆算できます。
（開平）　どうせならこちらも覚えておいたらどうでしょうか。

http://yosshy.sansu.org/sqr.htm

お礼

回答ありがとうございます。すみません。√がのこるとなぜいけないのでしょうか。

回答No.1

akira47

１次式の積となることから、6x＾2-7xy-3y＾2までを因数分解します。
6x＾2-7xy-3y＾2=(3x+y)(2x-3y)となります。
ですので、(3x+y+a)(2x-3y+b)とおいて、展開してa,bを求めた方が早いのでは。

お礼

回答ありがとうございます。その方法がよくわかりません。。