この４次方程式を解くには？

質問

Ferrariの解法を使って下の４次方程式を解けという問題なのですが、何度やっても答えを出すことができません。
x^4-5x^3+6x+3=0　これが解を求めたい方程式です。

自分がやってみたことを下に書いてみます。
この方程式には３次の項が含まれているので、まずx=y+5/4として、
３次の項を消去して、平方完成の形に直しました。
(y^2 - 75/8)^2 ＝-75y^2/8＋75^2/64＋77y/8－813/256
ここで新しい変数tを導入する。
(y^2－75/8＋t)＝(-75/8＋2t)y^2＋77y/8＋t^2－75y/4＋75^2/64＋813/256
ここで、右辺の判別式＝０になればよいので、計算すると結局、
8t^3－ 375t^2/2＋8(75^2/32 －813/256)t-4(75/8)(75^2/64 －813/256)－77^2/64＝0　になりました。

このあと、tについての3次方程式を解いてみたのですが（カルダノの解法を使いました）計算が膨大になってしまい解けませんでした。しかも、ここからの解法の流れがわからないので、どうしていいかわかりません。もしわかる方がいらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

もしかしたらですが、これが「問題」なら、問題を間違えているということはありませんか？

解法はわからないのですが、Maxima というソフトにかけてみたら、とんでもなく複雑な答えになりました。
何かの解析の結果出てきた式なら、それもありそうな気がしますが、「問題」として作られたものなら、あまりにも複雑な気がします。
単に、Maxima が間違えただけという可能性もありますが。

お礼

私もMathematicaという数式処理ソフトにかけてみたんですが確かに複雑な答えが出ており、自力で解くには限界があるのではないかと疑問を抱いています。もしかしたら問題のミスなのかもしれません。確認してみます。回答ありがとうございました。

回答No.2

rabbit_cat

流れは、それでよいです。

右辺の判別式＝０なら、
右辺＝(ay+b)^2
の形にできるんで、
(y^2－75/8＋t)^2 = (ay+b)^2
で、結局
y^2－75/8＋t = ±(ay+b)
という、２本の２次方程式をとけばよいです。

それとも、３次方程式の解き方がわからないってことですか。
x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = (x+y+z)( x^2 + y^2 + z^2 −xy−yz−zx )
という因数分解の公式があったと思います。
左辺をxについての３次式だと思って、ときたい３次方程式と見比べてy,zを決めます。