数II高次方程式

質問

x²+xy-6y²-x+7y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるように整数kの値を定める。また、このときの与式を因数分解する。
教えてください。

回答No.2

178-tall

>x²+xy-6y²-x+7y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるように整数kの値を定める。

たとえば、
　x^2 +(y-1)x -6y^2+7y+k = 0　　…(1)
なる x の 2 次方程式とみなすのが事務的な手口らしい。

(1) を、
　{x + (y-1)/2}^2 - (y-1)^2/4 - (6y^2-7y-k) = 0　　…(1)'
と変形したとき、左辺の後ろ 2 項 (の負号を外したもの) が y 多項式の 2 乗形になればよい。
つまり、
　(y-1)^2/4 + (6y^2-7y-k) = (1/2)^2 { (y-1)^2 + (24y^2-28y-4k) }
　= (1/2)^2 { (y^2-2y+1) + (24y^2-28y-4k) }
　= (1/2)^2 (25y^2 - 30y + 1-4k )　　　　　…(2)
の判別式 Dy を零とする k を求める…という算段。
あとは、ひたすら勘定。
　Dy = 30^2 - 100(1-4k) = 800 + 400k = 0
　k = -2　　　　　…(3)

>また、このときの与式を因数分解する。

残務は、因数分解への逆行。
(3) を (2) へ代入すれば、
　25y^2 - 30y + 1-4k = 25(y - 3/5)^2
のはずだから
　(y-1)^2/4 + (6y^2-7y-k) = (5/2)^2 (y - 3/5)^2
これを (1)' の左辺へ入れれば、
　{x + (y-1)/2}^2 - (y-1)^2/4 - (6y^2-7y-k)
　= {x + (y-1)/2}^2 - (5/2)^2 (y - 3/5)^2
　= {x + (y-1)/2 + (5/2)(y - 3/5) } {x + (y-1)/2 - (5/2)(y - 3/5) }
　= {x + 3y - 2) (x - 2y + 1)

要らざることを考えない事務手続きだと、かなり長めになりますネ。

回答No.1

gohtraw

与式が
（ｘ＋ｐｙ＋ｑ）（ｘ＋ｒｙ＋ｓ）
と因数分解できるとすると、これを展開した時の係数を元の式と比較して
ｘｙの係数：ｐ＋ｒ＝１
ｙ＾２の係数：ｐｒ＝－６
ｐ＝３、－２、ｒ＝－２，３
よって与式は
（ｘー２ｙ＋ｑ）（ｘ＋３ｙ＋ｓ）
さらに係数比較して
ｘの係数：ｑ＋ｓ＝－１
ｙの係数：３ｑー２ｓ＝７
ｑ＝１、ｓ＝－２
よって与式は
（ｘー２ｙ＋１）（ｘ＋３ｙ－２）