ｘとｙの一次式の積に因数分解

質問

こんばんは。
数学Ｂの問題なのですが，解答を見てもなぜそうするのかが
よくわからないので，解説をお願いします。

（問題）
ｘ^2＋ｘｙ－６ｙ^2－ｘ＋７ｙ＋ｋ　…(＊)
がｘ，ｙの１次式の積に因数分解できるように，定数ｋの値を定めよ。

（解答）
(＊)＝０とすると
ｘ^2＋(ｙ－１)ｘ－(６ｙ^2－７ｙ－ｋ)＝０
Ｄ＝(ｙ－１)^2＋４(６ｙ^2－７ｙ－ｋ)＝２５ｙ^2－３０ｙ＋１－４ｋ＝０
ｘがｙの１次式で表されるためには，２５ｙ^2－３０ｙ＋１－４ｋ＝０が重解をもてばよい。
ゆえにＤ/４＝(－１５)^2－２５(１－４ｋ)＝０　よって　ｋ＝－２

多分，どうして判別式を２つ考えなければならないのかが理解できていないと思います(^^;
よろしくおねがいします。

回答No.1

Largo_sp · ベストアンサー

とりあえず、おいらの解答をかきます。
（＊）が因数分解できたなら、(x+ay+c)(x+dy+e)となるので、
x^2+xy-6y^2-x+7y+k=x^2+(a+d)xy+ady^2+(c+e)x+(ae+dc)y+ce
これより、a+d=1 ad=-6 c+e=-1 ae+dc=7 ce=k
だから、a=1-d (d-1)d=6 (d-3)(d+2)=0 (a d)=(-2 3),(3 -2)
c=-1-e ae+dc=-2e+3c=-2e-3(1+e)=7 or 3e-2c=3e+2(1+e)=7
e=-2 or 1 c=1 or -2
よってk=-2...

あれ？判別式つかってませんね...（笑）

判別式のほうですが、他の人が回答してそうだけど...
最初の判別式では、ｘの方程式が実数解をもつという条件をしらべます
せいかくにはだから≧０ですね...そうすると、もとの式は
（ｘ+ｙ+1－√25y^2-30ｙ+1-4ｋ）（ｘ+ｙ+1+√25y^2-30ｙ+1-4ｋ）
とかけますね...
問題はｘｙの一次式になるのだから、ルートの中身は完全平方でないといけません
すると丁度、判別式が０、重解を持つことが条件となります。

お礼

解説ありがとうございました！
実を言うとこの質問は弟から受けたのですが，
私も「おいらの解答」だろうと思ったので，本の解説に「！？」でした。
柔軟な考え方を持ちたいものです…（笑）

回答No.2

noname#24477

ax^2+bx+c　を因数分解するとき
＝０　と置いて解α、βを求めれば
a(x-α)(x-β)　と因数分解できる、ということは分かっていますね。

さてそこで、解の公式を使います。
ご質問の２次式ですが、解の公式の√の中が
ｙの２次式（最初の判別式Ｄ）になります。これは＝０でなくてもいいです。

１次式の積に因数分解できる、ということは√が消えるということです。
√が消えるためには中が　（　）^2　になれば良い。
ではｙの２次式が重解を持てばよい。
重解を持つ条件は判別式を考えればよい。

となります。

お礼

よくわかりました！
丁寧な解説ありがとうございました^^