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数IIの微分方程式の問題と解法について
- 数IIの問題集で与えられた微分方程式の問題について解法を求めるために、n次式とおく必要があります。解法の詳細と不等式の出現について説明します。
- 微分方程式の解法をインターネットで調べた結果、この問題の解法は特殊なものであり、n次式を仮定することで解くことができます。
- 数IIの微分方程式の問題は一般的な解法とは異なり、n次式を仮定する必要があります。この問題の解法について詳しく解説します。
- yoshiki_1992
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- 数学・算数
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「微分方程式も導関数についての方程式なのだから」 が、どこからどうつながって 「両辺の最高次数が一致しない場合もあるのでは」 の根拠になるのだか、全く理解できない。 奔放な発想力も大切だが、 最低限、話の脈絡はついてないと。 質問の微分方程式と二次方程式 x^2+4x+3=0 の間に、 「方程式」という単語が登場すること以外には 特に共通点は見つからない。 x^2+4x+3=0 の場合は、これを満たす x は有限個 しか存在しない。だからこそ、方程式を解いて、 x の値が何個かに決まる。 微分方程式のほうは、f についての方程式であって、 もともと x については恒等的に = が成り立つように 立式されている。 未定係数を含んで f(x)=ax^2+bx+c と式の形が 決まってしまえば、あとは、x についての 項等式の係数を求めるだけになる。
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- alice_44
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「絶対ならない」は既に訂正済みだから、 No.5 のほうを見てもらえれば幸い。 左辺の次数 = (n-1)+1, 右辺の次数 ≦ n+1 または 右辺の次数 ≦ 2 なのだから、まさに貴方の言う 左辺の次数 = 右辺の次数 によって、 2n-1 ≦ n+1 または 2n-1 ≦ 2 が導かれる。
補足
なるほど！ わかりました ということは私が言ってた『左辺の次数=右辺の次数』は あってたということですね しかし気になることが1つあります 例えばxに関する方程式 x^2+4x+3=0 では 左辺の最高次数と右辺の最高次数は一致しませんが 微分方程式も導関数についての方程式なのだから 両辺の最高次数が一致しない場合もあるのではないですか？ 解答を考えてみると まるで恒等式の未知数を求めるような感じで解いているような気がします… またしょうもないことをと思われたかもしれませんが 解答お願いします
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
しまった。訂正。 「かつ」じゃなくて… 右辺は、n+1 次以下「または」2 次以下。 どっちか大きいほうよりは、小さいということだから。 よって、2n-1 ≦ n+1 または 2n-1 ≦ 2 が出る。 広いほうを採って、n ≦ 2。
補足
右辺の次数 ＞ n+1 とは絶対ならない というのがまだ理解できません… 与式に(左辺)=(右辺)とあるのだから 次数はどんな場合も(左辺)=(右辺)となりそうな気がします 自分がとても初歩的なとこでつまづいてるのはわかってるんですが やっぱり等式なのに左辺と右辺の次数が釣り合わないというのが ひっかかります すみませんが もう少し噛み砕いて教えてもらえませんか お願いします
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
「n次と置くと」は、f(x) が多項式であることが 最初から判っているときだけ使える解法だから、 特殊といえば特殊。 一般の f(x) について類似の解法としては、 f(x) をテイラー展開して係数を比べる という方法がある。 ≦ n+1 の出所については… f(x) が n 次なら、f'(x) は n-1 次だから、 左辺が (n-1)+n 次になるのは、解り易いでしょう。 右辺は、2xf(x) が n+1 次、残りの項が 2 次 だから、n+1 次以下かつ 2 次以下。 「以下」と付くのは、2xf(x) と x~2 を足したときに たまたま n+1 次項が打ち消しあって、 次数が下がる可能性が未だ否定できてないから。 それでも、右辺の次数 ＞ n+1 とは絶対ならない ことは保証されているから、 (n-1)+n ≦ n+1 は成立する。
補足
右辺の次数 ＞ n+1 とは絶対ならない というのがまだ理解できません… 与式に(左辺)=(右辺)とあるのだから 次数はどんな場合も(左辺)=(右辺)となりそうな気がします 自分がとても初歩的なとこでつまづいてるのはわかってるんですが やっぱり等式なのに左辺と右辺の次数が釣り合わないというのが ひっかかります すみませんが もう少し噛み砕いて教えてもらえませんか お願いします
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
ダブってる。 ＃1の書き込みが出てこないので、改めて＃2に書いたんだが。ＰＣの調子が最近悪い。 従って、＃2を無視しといて。。。。。ｗ
補足
解答ありがとうございます イコールになる場合はわかったのですが 不等号の場合はどうですか
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＞f(x)をn次式とおくと、2n-1 ≦ n+1 すなわち n≦2 が成立 ＞よって f(x)=ax^2+bx+cとおける。 これが成立するためには、f(x)は整数次数でなければならない。 ところが、問題文にはそんな事はどこにも書いてない。 しかし、問題集の答が正しいとすると、質問者の書き込み忘れだろう。。。。ｗ こんなのは、f(x)の最大次数がわかれば簡単。 f(x)をn次式（nは自然数）とすると、 左辺の最大次数は f'(x)f(x)が与え、その時の次数は n＋n-1. ‥‥(1) 右辺の最大次数は2xf(x)が与え、その時の次数は n＋1 ‥‥(2) よって、(1)と(2)から、n＋n-1＝n＋1 → n＝2 ＞この問題の微分方程式は特殊なものなのでしょうか。 整数次数であれば、極めて基本的問題。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＞f(x)をn次式とおくと、2n-1 ≦ n+1 すなわち n≦2 が成立 ＞f(x)=ax^2+bx+cとおける。 問題集の解答が成立するためには、f(x)は整数次数でなければならない。 問題文を読む限り、そんな事はどこにも書いてない。 従って、これは質問者の書き込み忘れ、と解釈しておいて。。。。ｗ こんなのは、f(x)の最大次数さえ決まれば簡単に行く。 f(x)をn次式とすると、左辺の最大次数は、f'(x)*f(x) → x＾（n＋n-1）‥‥(1) 右辺の最大次数は、 2xf(x) → x＾（n＋1）‥‥(2) よって、(1)と(2)から、2n-1＝n＋1 → n＝2. 以下省略。 ＞この問題の微分方程式は特殊なものなのでしょうか。 極めて、基本的なものです。
お礼
一晩よく考えてみてやっと全部わかりました 今回は何度も解答していただいてありがとうございました 本当に助かりました！