二次曲線の問題です！ 明けましておめでとうございます！！！

質問

Ｐを通って双曲線Ｃ：ｙ＾２－ｘ＾２＝１に接する直線が２本あり、これらの直線の傾きの積が一定値Ｋ（０＜｜Ｋ｜＜１）であるとする。このような点Ｐの軌跡を求めよ。

この問題の最後のほうが良くわかりません！

まず動点をＰ（Ｘ，Ｙ）と大文字にして
次は、この点Ｐを通過する直線を表すので
ｙ＝ｍ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１を利用して
ｙ＝ｍ（ｘ－Ｘ）＋Ｙとしました。

そしてこの直線が接する時は、これを題意のｙ＾２－ｘ＾２＝１に代入しました。
そしたら長い式が得られ（ｍ＾２－１）ｘ＾２－２ｍ（ｍＸ－Ｙ）ｘ＋（ｍＸ－Ｙ）＾２－１＝０
この式に対して、今度は”接する”というのを示すので、この式が重解を持てばよいので、判別式b＾２－ac=0を利用したら、
（Ｘ＾２＋１）ｍ＾２－２ＸＹｍ＋Ｙ＾２－１＝０　（１）となりました

この方程式の解が接線の傾きなので、（ｍの二次方程式なので）接線が”二本ある条件”は　再度判別式に掛けて、Ｙ＾２－Ｘ＾２＜１　（２）が得られました。

（１）の式を解と係数の関係を使って、m1m2=(Ｙ＾２－１)/(Ｘ＾２＋１)　＝　Ｋ　（３）
となりました。
続いて、（３）を展開すると、
Ｙ＾２－ｋＸ＾２＝ｋ＋１(0<|k|<1)となりました。

このあとが良くわかりません！＞＿＜！！
点Ｐの軌跡は、ここからどうしたらよいですか？？

答えを見たら
（ア）0<k<1の時、Ｐは双曲線
x＾２/（√(k+1)/(√k))＾２ ーｙ＾２/(√(k+1))＾２＝－１と成ってるのですけど、どうやって、こんな複雑な式になったのですか？あとなぜ双曲線ってわかったのですか？

（イ）-1<k<0のときＰは楕円
これはどうして-1<k<0なんですか？絶対値のカッコって
｜ｋ｜の意味するのはｋとーｋじゃないのですか？
そしたら、0<|k|<1 は -k<0<1じゃないのですか？
あとどうして（イ）は楕円とわかるのですか？
誰か教えてください！

回答No.2

debut · ベストアンサー

求めた最後の式「Ｙ＾２－ｋＸ＾２＝ｋ＋１」を変形します。
・－１をかけて　　ｋＸ^2－Ｙ^2＝－(ｋ＋１)
・ｋ＋１で割って　(ｋＸ^2)/(ｋ＋１)－Ｙ^2/(ｋ＋１)＝－１・・（ア）
※ここで、(ｋＸ^2)/(ｋ＋１)は分子と分母をそれぞれｋで割ると
　Ｘ^2/{(ｋ＋１)/ｋ}とできるので、
　（ア）の式は　Ｘ^2/{(ｋ＋１)/ｋ}－Ｙ^2/(ｋ＋１)＝－１・・（イ）

　０＜ｋ＜１のとき、
　　標準形の書き方でx^2/(√(k+1)/(√k))^2 －ｙ^2/(√(k+1))^2＝－１
　　で、双曲線となります。
　　（双曲線はｘ^2/a^2－y^2/b^2=±1の形でした）

　－１＜ｋ＜０のとき、（イ）の式の分母の符号を考えると、
　　Ｘ^2の分母は負、Ｙ^2の分母は正、だから形としては
　　「Ｘ^2/負－Ｙ^2/正＝－１」なので、全体に－１をかけることで
　　「Ｘ^2/正＋Ｙ^2/正＝１」の形にできますから、これは楕円の式で
　　あるといえます。
　　（楕円の式はx^2/a^2+y^2/b^2=1の形でした）

なお、０＜｜ｋ｜＜１とはｋは「－１より大きく１より小さいが０は含ま
ない」ということです。絶対値が０より大きく１より小さい数を考えて
みてください。

お礼

返事書いていただいて、本当にどうもありがとうございました！！
おかげで、なんとか解りました！！
すごく感謝してます！！本当にどうもありがとうございました！！＞＿＜

補足

返事頂いてありがとうございました！！
今日頑張って何度も読み返して覚えます！！＞＿＜！！
ありがとうございました！！！！

回答No.1

pocopeco

ア、a x^2 -b y^2 =-1 が双曲線を示します。

イ、｜ｋ｜の意味するのはｋとーｋじゃないのですか？
★これは正しい。
そしたら、0<|k|<1 は -k<0<1じゃないのですか？
★0<|k|<1 　は、0<k<1　または　0<-k<1　の場合なのです。
-1<k<0のときx^2の-k が正の数、右辺のk+1も正の数なので、
y^2+a^2*x^2 = c^2
と考えてみれば楕円ですね。a^2=-k c^2=k+1
とおけばわかります。
式を見たときにどんな曲線になるかは難しいですね。

お礼

返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました！！
時間が掛かりましたけど、今日やっと理解する事が出来ました！！
本当にどうもありがとうございました！！＞＿＜！！

補足

返事書いて頂いてありがとうございました！！
今日何度も読み返して、理解して覚えます！！
どうもありがとうございました！！！