１次方程式の整数解について
訳あって、高校数学を勉強中ですが、悪戦苦闘しております。お助けください。
１次方程式 3x+2y=13 …(1) を満たす整数x,yの組みを求める問題です。
教科書（東京書籍数学Ip152）には、次のとおり記述されています。
たとえば、x=1,y=5は、(1)を満たすから
3・1+2・5=13 …(2)
(1)から(2)を引くと、3(x-1)=-2(y-5) …(3)
(3)の右辺は2の倍数であるから、左辺も2の倍数である。
ところが、2と3は、1より大きい共通な約数をもたないから、x-1は2の倍数となる。
よって、nを整数として、x-1=2n （以下省略）
以上の流れで、教科書には、答えとして次のとおり記載されています。
x=2n+1 y=-3n+5 n（整数） …(4)
以上の流れは、理解できるのですが、
答えは、上記以外にも存在するように思うのです。
上記では 「たとえば、x=1,y=5は、(1)を満たすから」 という前提で進めていますが、
x=1,y=5 以外にも、x=3,y=2 なども、(1)を満たしますので、
試しに、x=3,y=2 を前提に上記と同様に考えてみました。
そうしたところ、答えは、次のとおりとなりました。
x=2n+3 y=-3n+2 n（整数） …(5)
そして、(5)が、(1)を満たすか否かをn=1,n=2,n=3,n=4,n=5を代入して確認してみましたが、
問題なく、(1)を満たすようです。
そうすると、教科書には記載されていない(5)も答えとして正しいのではないか、と思うのですが、
そうであれば、なぜ教科書は、(4)のみを答えとして記載し、
他にも答えが存在することに触れないのか、という疑問が残ります。
教科書が単に不親切なだけでしょうか、
それとも、(5)は答えには成り得ない何らかの理由があるのでしょうか。
お礼
わかりました！すみません、ありがとうございましたm(_ _)m