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因数分解の問題（大学受験）
現在、「複素数と方程式」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は x^2-xy-2y^2+ax-y+1が1次式の積に因数分解されるように、定数aの値を定めよ です。 私はこの問題を xについて整理し、x^2+(a-y)x-2y^2-y+1=0。 -2y^2-y+1を（y+1）（-2y+1）と因数分解し、(x+(y+1))(x+(-2y+1))=0 展開し、a=2 としました。 でも、解答は、他の解法で、a=2 だけでなくa=2,-5/2とありました。 本の解法は、xについて整理したあと、xについて解き、 「この２つの解をα、βとすると （与式）＝（x-α）（x-β） したがって、与式が一次式の積に因数分解できる条件は、 α、βがyの１次式であることである。 ゆえに、根号内の9y^2－2(a-2)y＋a^2－４が完全平方式であることが条件となる。 よって、yについての2次方程式9y^2－2(a-2)y＋a^2－４＝０ の判別式をDとすると、D=0 よって、a=2,-5/2」 とありました。 私は、わからない点が２つあり 一つ目はこの解法の「したがって～」からの三行で、どうして根号内が完全平方式でないといけないのでしょうか、たとえ根号内が完全平方式でなくルートが残っても、たとえば（x-√3y）（x-√5y）のように１次式の積に分解できると思います。 わからない点の二つ目は、最初の自分の方法ではどうしてa=-5/2という解が抜けてしまったのでしょうか。私の解法のどこに穴があったのでしょうか。条件でも見落としているところはないと思うのですが…。 私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため困っています。 どなたかご存知の方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
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1つ目 根号内の・・・ってのは、解の公式の根号内って事ですね？ 完全平方式の定義が分からないので、その話はおいておきますが、 根号の中にｙが残らないためにはb(y-c)^2(b>0)と表される必要があります(このように表されることが完全平方式、ということではないですか？)。逆にb(y-c)^2と表されなければ、平方根の中にｙが残ってしまいますね。 ｙの係数に平方根が残ってもいいけれど、平方根の中身にｙが残っては困る、ということだと思いますよ。 2つ目 (x+b(y+1))(x+(1/b)(-2y+1)) の形であれば、「１次式に分解できた」と言えますね。 xyの係数が-1であることから、 (x+(y+1))(x+(-2y+1)) とした(上でb=1の場合)のだと思いますが、 上の式でxyの係数はb-(2/b)=-1なので、b=1以外(b=-2)の可能性もありますね。
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- keyguy
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《b,c,d,eを未知数として(x+by+c)・(x+dy+e)とできる》 とまず書いておられますが、どうして、(x+by+c)・(x+dy+e)のみとおけるのでしょうか。： 問題に1次の積にに因数分解できると書いてあるのでこのように分解できるのです (ax+by+c)・(1/ax+dy+e)のような形は考えられないのでしょうか。： (ax+by+c)・(1/ax+dy+e)= (x+b/a・y+c/a)・(x+a・d・y+a・e) だからです(aは使えないけれど合わしまた) b/aを1変数にc/aを1変数にa・dを1変数にa・eを1変数にしたほうが簡単でしょう 簡単になるのにわざわざ複雑する必要は無いでしょう b,c,d,eを未知数として (x+b・y+c)・(x+d・y+e)=x^2-x・y-2・y^2+a・x-y+1 とできる y^2の係数とx・yの係数の比較から b・d=-2 b+d=-1 これを解き直ちに(b,d)=(1,-2)または(-2,1)が言え どっちでも対称性から同じなので(b,d)=(1,-2)でき (x+y+c)・(x-2・y+e)=x^2-x・y-2・y^2+a・x-y+1 と置ける 同じようにyの項と定数項の比較より c・e=1 e-2・c=-1 これを解くと(c,e)=(1,1)=(-1/2,-2) よって (x+y+1)・(x-2・y+1)と(x+y-1/2)・(x-2・y-2) aはこれを展開してxの項を比較して求める 何を悩んでいるのか分かりません
お礼
keyguy様、再度御回答いただきありがとうございました。 おっしゃる方法で、解くことができたが、そこに抜けがある可能性はないのか、といろいろ考えたところ、他にも置き方があるのではないかと思い、再度質問させていただいたのですが、うまく伝わっていなかったようで、すいませんでした。いろいろとありがとうございました。
- springside
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No.3のspringsideです。 後段です。 >>どうして私の解法だと、a=-5/2という解が抜けてしまったのでしょうか。この解法のどこに穴があったのでしょうか。 -2y^2-y+1の因数分解ですが、 -2y^2-y+1=(y+1)(-2y+1) ではありますが、ちょっと変形すると、 -2y^2-y+1=(y+1)(-2y+1)=(-2y-2)(y-1/2) となります。この変形を使って、与式が {x+(-2y-2)}{x+(y-1/2)} と因数分解されるという仮定の下に解くと、a=-5/2になります。 上のような変形は、「a=2以外に、a=-5/2という解がある」ということを知っていたからできたものであり、最初から発見するのは難しいと思います。やはり、この手の問題では「判別式を使う」と決めておいたほうがよさそうです。
お礼
springside様、度々御回答いただきありがとうございます。やはり私の解法はまずいようですね。これからは、気が付けば、この種の問題は、判別式を使う解法を利用したいと思います。ただ、どの問題が、’この種の問題’なのかが、うまくみわけられるとよいのですが、すぐに自分の知っている方法ですぐにとりかかってしまうところがあり、反省しています。そのためには、様々な解法を知り、様々な種類の問題にあたることが重要ですね。 今回はお忙しいところ度々御回答いただき、本当にありがとうございました。
- springside
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No.3のspringsideです。 とりあえず、前段です。 >>たとえ「√の中身=何かの２乗」でなくルートが残っても、たとえば（x-√3y）（x-√5y）のように１次式の積に分解できると思うのですが…。 そのような積への分解でもＯＫですよ。xやyの係数に根号が残ってもよいのです。ただ、yやxそのものに根号がついてはならない、ということです。 (x-√3y)(x-√5y)を例にとります。これを展開すると、 x^2-(√3+√5)yx+√15y^2になります。この式=0をxの２次方程式とみて、解の公式で解いてみることを考えます。解の公式中の分子の根号の中は、 (√3+√5)^2y^2-4・1・√15y^2 =(√3-√5)^2y^2 となって、完全平方式になり、したがって、根号がはずれるわけです。 このように、「解の公式中の分子の根号」の中身が「何かの２乗」でなければ、(x-yの１次式)(x-yの１次式)というように因数分解できません。 繰り返しになりますが、「yの１次式」であればよいのであり、「yの係数」がどうであろうと関係ありません。
お礼
springside様、度々御回答いただきありがとうございました。最初説明を読ませていただいた時には、よく理解できなかったのですが、もう一度考え直すうちによくわかりました。本当にありがとうございました。
- springside
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この問題は既出です。 私も解答を書いていますが、 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901526 をご覧下さい。
お礼
springside様、御回答いただきありがとうございます。すでに既出である質問を再度してしまい、申し訳ありませんでした。 さっそく参考URLを見せていただきました。ただ、分からない点があるのです。それは、書いておられる 《「xの２次方程式」が上記のように解けるということは、x=？？？と解いた時に、√がはずれるということで、》 の部分です。私の上の質問にも書かせていただいていますが、やはりどうして根号内が完全平方式でないといけないのかがわからないのです。たとえ「√の中身=何かの２乗」でなくルートが残っても、たとえば（x-√3y）（x-√5y）のように１次式の積に分解できると思うのですが…。 またもう一点疑問に思うことがあるのですが、それはspringside様が《注：a=2の時は既に解答がありますが、a=-2/5が見落とされています。》とご指摘されている点です。他の方の回答でも、みなさん、a=2のみで、もう一方の答えを見逃しているのですが、どうして私の解法だと、a=-5/2という解が抜けてしまったのでしょうか。この解法のどこに穴があったのでしょうか。条件でも見落としているところはないと思うのですが。次回から同じような問題を解く際にも見逃してしまいそうで恐いのです。私の解法は適法ではないのでしょうか。どのような点に注意して解答すればよいのでしょうか。 厚かましい質問なのですが、もしお時間が許せば、度々申し訳ないのですが、御助言いただけないでしょうか。宜しくお願いいたします。今度はご回答いただきありがとうございました。
- keyguy
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b,c,d,eを未知数として (x+b・y+c)・(x+d・y+e) とできる 展開したときの係数比較の「一部」の等式から 直ちに(b,d)=(1,-2)または(-2,1)が言え (x+y+c)・(x-2・y+e) が分かる 後は楽勝
お礼
keyguy様、早速御回答いただきありがとうございました。お礼が遅くなって申し訳ありません。こんな解法もあるのですね。ご説明いただいた通りやってみると、a=-5/2も見落とすことなく導くことができました。ありがとうございました。ただ一つ疑問があります。 それは、《b,c,d,eを未知数として(x+by+c)・(x+dy+e)とできる》 とまず書いておられますが、どうして、(x+by+c)・(x+dy+e)のみとおけるのでしょうか。 これは♯１の方の解法を読んでいて思ったのですが、♯１の方の最後のところで、係数をb×(1/b)とおかれていたので、今回の問題でも(ax+by+c)・(1/ax+dy+e)のような形は考えられないのでしょうか。 厚かましい質問なのですが、もしお時間が許せば、度々申し訳ないのですが、御助言いただけないでしょうか。宜しくお願いいたします。今度はご回答いただきありがとうございました。
お礼
eatern27様、早速御回答いただきありがとうございました。 いままで、どうして、√が残ってはいけないかというのが、わからなかったのですが、《ｙの係数に平方根が残ってもいいけれど、平方根の中身にｙが残っては困る》で、わかったような気がします。つまり√の中にyが残るということは、yは1乗でなく1/2乗となるため、1次式でなくなるということですね？次数と√についてつなげて考えることがいまいちできませんでした。 また二つ目の疑問にもお答え頂きありがとうございました。 Yの2乗の係数が-2なら、その前に、bと1/bをつけてわけようとはなかなか考えられませんでした。x^2の係数も1であるが、同様に分けて考えることもできるということですね。なかなかそこまで考えられていなかったな、と反省しています。bは他にも0がありますが、0以上なので、不適ということですね。 大変参考になりました。一つ目はともかく、二つ目に関してはどこまで自分でできるかと悩んでしまったところもありました。またお聞きすることもあると思いますが、宜しくお願いいたします。 補足：完全平方式とは「√の中身=何かの２乗」ということだと思います。