数IIの解と係数の問題

質問

問 x^2+xy-6y^2-x+7y+k がx、yの一次式の積に因数分解できるように、定数kの値を定めよ。 また、このとき、与式を因数分解せよ。

これをとく際のとき方２つあるんですけどそれについての２つの質問

(1)2次の項の部分は
x^2＋xy－6y^2＝(x－2y)(x＋3y)と因数分解されるので、
1次式の積の形は
(x－2y＋a)(x＋3y＋b)（a, bは定数）となります。
という風に、あとは係数比較するほうほうで、このときのx^2＋xy－6y^2＝(x－2y)(x＋3y)と因数分解されるので、
1次式の積の形は
(x－2y＋a)(x＋3y＋b)ていうのがよくわかりません。なぜ(x－2y＋a)(x＋3y＋b)になるんですか

(2)ｘ^2＋(ｙ－１)ｘ－(６ｙ^2－７ｙ－ｋ)＝０
Ｄ＝(ｙ－１)^2＋４(６ｙ^2－７ｙ－ｋ)＝２５ｙ^2－３０ｙ＋１－４ｋ＝０
ｘがｙの１次式で表されるためには，２５ｙ^2－３０ｙ＋１－４ｋ＝０が重解をもてばよい。

という、ときの、なぜ判別式の中が重解をもてばよいとわかるのですか

ものすごく理解が遅いので、かなり分かりやすく簡単に教えていただきたいです

回答No.1

noname#175750 · ベストアンサー

（１）
　与式：　x^2+xy-6y^2-x+7y+k　には、

x^2　、　xy　、　y^2　、　x　、　y　、それから定数ｋ　の項があります。

この項を全部含む形の因数分解は　（○ｘ＋□ｙ＋a）（●ｘ＋■ｙ＋b）　しかないです。

係数を求めるのは大変なので、分かりやすいもの（次数の大きいもの）から片付けてやろうということで、

２次の項の部分だけを先に因数分解すると、○、□、●、■が分かります。

そうすればaとbは自然と決まる

（２）

おそらく質問者さんは

ｘ^2＋(ｙ－１)ｘ－(６ｙ^2－７ｙ－ｋ)＝０が重解を持つと勘違いしてないですか？

そうではなくて、

２５ｙ^2－３０ｙ＋１－４ｋ＝０が重解を持つのですよ。

ｘ^2＋(ｙ－１)ｘ－(６ｙ^2－７ｙ－ｋ)＝０の解は　　ｘ＝｛－（ｙ－１）±√D｝/2　ですよね？

ｘがｙの１次式になるには、Dが（yの１次式）＾２であれば、√が外れて、ｘ＝ｙの１次式になります。

とゆうわけで、

ｘ^2＋(ｙ－１)ｘ－(６ｙ^2－７ｙ－ｋ)＝０は

｛ｘ＋（ｙの１次式）｝｛ｘ＋（ｙの１次式）｝という風に、ｘとｙの１次式で素因数分解できます。