同一直線上の座標を求めたいのですが…(2)

質問

昨日、丁寧に教えていただいたのですが、いく通りかのパターンで検証すると、うまく行かないパターンがあり困っています。再度教えてください。

---　昨日の質問（No.2430366）---

数学的な事がまったく分からないので、質問の文章もおかしいかもしれませんが、よろしくお願いします。
できれば、わかりやすく簡単な公式があれば助かります。

平面において、同一直線上にある２つのポイントＡ，Ｂの座標と、直線の角度が分かっている場合、同一直線上に新たに設けたポイントＰの座標を求めるにはどうすればよいですか？
Ｐの位置はその都度変化し、そのときのＡとＰの距離または、ＢとＰの距離のどちらか一方が分かるという条件です。

---　回答　---

２点Ａ，Ｂを通る直線の式は求められるのでＰまでの
距離がわかれば連立方程式を解くことでＰの座標は求められます。

平面であれば、Ａ(x1,y1),Ｂ(x2,y2),(y2-y1)/(x2-x1)=a、ＡとＰの距離をpとすれば、Ｐの座標（ｘ、ｙ）は
　ｘ＝{±p/√(1+a^2)}+x1
　ｙ＝{±ap/√(1+a^2)}+y1
で求められます。

※（^2 は２乗です）

※±の意味は、ＰがＡからみてＢと同じ方向なら＋、反対方向なら－でいいのではないかと思います。

---　困っていること　---

確かに上の式で、Ｐの座標を求めることはできました。
しかし、あるパターンに限ってです。
Ａを中心にＢが第一、第二、第三、第四象限にある場合、また、座標原点の位置をいろいろ変えて試すと、この式ではＰの座標が求められない場合があります。

全ての条件、パターンで通用する公式を教えてください。
または、私の検証方法が間違っているならご指摘ください。
お願いします。

回答No.2

hiiniichan · ベストアンサー

点Aの座標を(Xa,Ya)、点Bの座標を(Xb,Yb)、点Pの座標を(Xp,Yp)
点Aから点Bへ向かう距離の符号を(+)、
点Aから点Bと逆方向へ向かう距離の符号を(-)、
点Aと点Bの距離をLとしておきましょう。

ここで点Aから点Pへの距離Mが与えられたとき点Pの座標は
次のように求められます。
　　dx=(Xb-Xa)　　dy=(Yb-Ya)
　　L=√((dx*dx)+(dy*dy))
　　Xp=dx*M/L+Xa　　Yp=dy*M/L+Ya

点Aからの距離が与えられたり点Bからの距離が与えられたりする
とのことですが、仮にBからの距離Nが与えられたときにはAからの
距離が与えられたようにMの値を変換すればいいですね。

これは2次元だろうが3次元だろうが全く関係ないことで、
3次元では次のようになりますね。
　　dx=(Xb-Xa)　　dy=(Yb-Ya)　　dz=(Zb-Za)
　　L=√((dx*dx)+(dy*dy)+(dz*dz))
　　Xp=dx*M/L+Xa　　Yp=dy*M/L+Ya　　Zp=dz*M/L+Za

お礼

プログラムを組んで検証しましたが、ただ今のところ完璧な結果が得られています。
大変参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

debut

昨日回答した者です。

式をたてた過程
・A(x1,y1),B(x2,y2)を通る直線の式は
　　y={(y2-y1)/(x2-x1)}(x-x1)+y1
　　　={(y2-y1)/(x2-x1)}x-{(y2-y1)/(x2-x1)}x1+y1
　点P(x3,y3)はこの直線上の点なので
　　y3={(y2-y1)/(x2-x1)}x3-{(y2-y1)/(x2-x1)}x1+y1・・・(1)
・A(x1,y1),P(x3,y3)間の距離ｐは
　　p=√{(x3-x1)^2+(y3-y1)^2}
　両辺を２乗して
　　p^2=(x3-x1)^2+(y3-y1)^2・・・(2)
・(1)を(2)に代入（(y2-y1)/(x2-x1)=aとおく）
　　p^2=(x3-x1)^2+(ax3-ax1)^2
　　　　=(x3-x1)^2+a^2(x3-x1)^2
　　　　=(1+a^2)(x3-x1)^2
　　(x3-x1)^2=p^2/(1+a^2)
　　x3-x1=±p/√(1+a^2)
　　x3=±p/√(1+a^2)+x1
　　(1)に代入で、y3=±ap/√(1+a^2)+y1

とやりました。想定していなかったのですが、x1=x2のときはできない
でした。（この場合はAPの距離をAのy座標に足すか、引くかだけ)

うまくいかない場合を、具体的に座標で示していただけないでしょうか？

お礼

昨日に引き続き、ご親切な対応に感謝します。
ありがとうございました。