２点の座標がある座標を中心に回転した場合の座標は？

質問

ある２点の座標 P1(x1,y1), Q1(x2,y2) が ある座標(X,Y)を中心に回転し、点 P2(x3,y3) Q2(x4,y4) に移動した場合、回転の中心となった座標(X,Y)を求めるにはどうしたら良いでしょうか。

回答No.6

info22

#3,#5です。
他の方の垂直二等分線を2本求めてその交点を求める方法も良いアイデアですね。

２本の垂直二等分線の交点が回転の中心座標（X,Y）になりますね。
その場合は#1さんの方は間違いで、#2さんの方が正しいですね。
線分P1P2の垂直二等分線L1と線分Q1Q2の垂直二等分線L2の交点を求めればいいですね。
垂直二等分線の直線の出し方は
線分P1P2の直線の方程式：y-y1={(y3-y1)/(x3-x1)}(x-x1)
線分P1P2の中点M(xm,ym)=((x1+x3)/2,(y1+y3)/2)
したがって線分P1P2の垂直二等分線の方程式は
y-{(y1+y3)/2}=-{(x3-x1)/(y3-y1)}[x-{(x1+x3)/2}]…(1)
となります。
同様に線分Q1Q2の垂直二等分線の方程式は
y-{(y2+y4)/2}=-{(x4-x2)/(y4-y2)}[x-{(x2+x4)/2}]…(2)
となります。

(1)と(2)の交点(X,Y)を求めればそれが回転の中心座標(X,Y)になります。
x,yを未知数にして(1)と(2)を連立方程式として解けば、その解が(X,Y)となります。連立方程式は解けますね。

ここで求めた(X,Y)座標とA#5の方法で求めた(X,Y)座標は一致するはずですから、確認してみてください。

回答No.5

info22

#3です。
A#3で書いたことは式に直せば
x3-X=(x1-X)cosθ-(y1-Y)sinθ…(1)
y3-Y=(y1-Y)cosθ+(x1-X)sinθ…(2)
x4-X=(x2-X)cosθ-(y2-Y)sinθ…(3)
y4-Y=(y2-Y)cosθ+(x2-X)sinθ…(4)
という式になります。
(1)～(4)の式は
#4さんの下の2つの式を書き下した式と同じ式になります。
(1)と(2)からsinθとcosθを求め(3)と(4)に代入すれば
(x1-X)*(x4-X)-(y1-Y)*(y4-Y) = (x2-X)*(x3-X)-(y2-Y)*(y3-Y)…(5)
(x1-X)*(y4-Y)+(y1-Y)*(x4-X) = (x2-X)*(y3-Y)+(y2-Y)*(x3-X)…(6)
の式が出て来ます。
整理すると
x1x4-(x1+x4)X-y1y4+(y1+y4)Y=x2x3-(x2+x3)X-y2y3+(y2+y3)Y…(5)'
x1y4-(y1+y4)X+y1x4-(x1+x4)Y=x2y3-(y2+y3)X+y2x3-(x2+x3)Y…(6)'
さらに整理すると
(x2+x3-x1-x4)X-(y2+y3-y1-y4)Y=x2x3-y2y3-x1x4+y1y4…(5)"
(y2+y3-y1-y4)X+(x2+x3-x1-x4)Y=x2y3+y2x3-x1y4-y1x4…(6)"
この2式をX,Yの連立方程式として解(X,Y)を求めれば、その解が回転の中心座標になります。

後はX,Yの連立一次方程式ですから解けますね。

この解が存在する条件として以下の条件が全て満たされないといけません。
P1,Q1が同じ点でないこと、したがってP2,Q2も同じ点でないこと、また回転角θがゼロ、つまりP1とP2、Q1とQ2が同じ点でないこと、
また、P1,Q1のいずれも回転の中心と一致しないこと。

分からなければ質問して下さい。

回答No.4

sanori

＃３さんのご回答どおりでよいのですが、
質問者さんは、高校生？

高校までの数学では、オイラーの公式
ｅ^(iθ) ＝ cosθ ＋ ｉ・sinθ
を習いませんので、
高校で習う「一次変換」の一つである「回転行列」の考え方で
解いてもよいです。

数学の教科書に書いてあると思いますが、回転行列Ｒとは、

　　　　cosθ　－sinθ
Ｒ＝（　　　　　　　　　　）
　　　　sinθ　　cosθ

です。
http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/~miyazaki/tech/tech31.html

　　　ｘ１－ｘ　　　　　　　ｘ３－ｘ
Ｒ（　　　　　　）　＝　（　　　　　　　）
　　　ｙ１－ｙ　　　　　　　ｙ３－ｘ

　　　ｘ２－ｘ　　　　　　　ｘ４－ｘ
Ｒ（　　　　　　）　＝　（　　　　　　　）
　　　ｙ２－ｙ　　　　　　　ｙ４－ｘ

という連立一次方程式になります。

回答No.3

info22

(x1-X,y1-Y)e^(iθ)=(x3-X,y3-Y)
(x2-X,y2-Y)e^(iθ)=(x4-X,y4-Y)
から回転角θの項を消去してX,Yを求めれば良いかと思います。
e^(iθ)=(cosθ,sinθ)は回転ベクトルです。また(a,b)という表現ははベクトルの成分表現を表しています。

やってみてわからなければ補足質問して下さい。

回答No.2

rtz

＞垂直二等分線
P1P2とQ1Q2、では？

回答No.1

yanasawa

線分P1Q1の垂直二等分線と、線分P2Q2の垂直二等分線の交点を求めたらいかが。例外はありますが。

補足

ありがとうございます。
質問後に、線分P1Q1の垂直二等分線と、線分P2Q2の垂直二等分線の交点でいけそうと考えたのですが、交点の求め方がわかりません。

あと例外とはどういうときでしょうか。

よろしくお願いします。