座標変換について

質問

直交座標系（ｘ,ｙ）において、ｘ軸とｙ軸ともにθだけ回転して、新しい直交座標系（ｘ’,ｙ’）になるとするときに、

x'＝x*cosθ+y*sinθ
y'=－x*sinθ+y*cosθ

になる。
というのは、どの参考書を見ても書いてあるのですが、何故そうなるのか、証明的なものがどこにものっていません。
誰か分かる方いらっしゃいますか？

回答No.2

noname#230359

数式による証明を下記に示します。

点P（x,y）とX軸のなす角をαとし、原点までの距離をrとすると、点Pの座標の x ， yを r と αで表わすと，
x=rcosα， y=rsinα・・・・・?

点Pをさらにθ回転させた点Q（X，Y）の座標は：
X=rcos(α+θ)，Y=rsin(α+θ)

ここで、加法定理を用いて、
X=r( cosαcosθ-sinαsinθ )
Y=r( sinαcosθ+cosαsinθ )

?式を上式に代入すると、
X=x･cosθ-y･sinθ
Y=x･sinθ+y･cosθ

補足しますと、（cosθ　-sinθ　sinθ　cosθ）を回転行列といいます

回答No.1

noname#230359

正しくは
x'=x*cosθ-y*sinθ
y'=x*sinθ+y*cosθ
ですね。
三角形を二つ書けばすぐに分かると
思いますが、、

定理を丸暗記して使いこなすことも重要ですが、
図形を描いて何故そうなるのか理解すると、
逆に加法定理も導きだすことができたり、
知識が有機的につながっていき、
面白くなると思います。

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic1/sinadd/node2.html