g をリー代数，V, W を g 加群とする.この

質問

g をリー代数，V, W を g 加群とする.このとき，以下が成立する.
V,W のK上のテンソル積V⊗W に対し，
g×(V ⊗K W)→V⊗Wにおいて
(x,v⊗w)→x.v⊗w＝x.v⊗w+v⊗x.w と定めることにより，V ⊗K W は g 加群になる.

この問題の証明ができません。
分かる方いらっしゃれば
よろしくお願いします🙏

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

x[a(v◎w)+b(v'◎w')]=a(x[v◎w])+b(x[v'◎w'])
は定義なので証明すべきことではありません

テンソル積V◎W
は
v◎w
だけでなく
Σ_{k=1～n}a(k)(v(k)◎w(k))
という
形の要素の全体の集合なので

v◎w
の形の要素に対して
(x,v◎w)→x.(v◎w)＝(x.v)◎w+v◎(x.w)
と定義したときに
Σ_{k=1～n}a(k)(v(k)◎w(k))
という
形の要素に対しても
Σ_{k=1～n}a(k)(v(k)◎w(k))∈V◎W
↓
x[Σ_{k=1～n}a(k)(v(k)◎w(k))]=Σ_{k=1～n}a(k)x(v(k)◎w(k))
と定義しなければ
定義したことにはなりません。

g をリー代数，V, W を g 加群とする.
V,W のK上のテンソル積V◎W に対し，
g×(V◎ W)→V◎Wにおいて
(x,v◎w)→x.(v◎w)＝(x.v)◎w+v◎(x.w)
↓x.(v◎w)=x[v◎w]
↓x.v=x[v]
↓x.w=x[w]
↓と書いて
(x,v◎w)→x[v◎w]＝x[v]◎w+v◎x[w]

Σ_{k=1～n}a(k)(v(k)◎w(k))∈V◎W
↓
x[Σ_{k=1～n}a(k)(v(k)◎w(k))]=Σ_{k=1～n}a(k)x(v(k)◎w(k))
と定める

回答No.1

jcpmutura

g をリー代数，V, W を g 加群とする.
V,W のK上のテンソル積V◎W に対し，
g×(V◎ W)→V◎Wにおいて
(x,v◎w)→x.(v◎w)＝(x.v)◎w+v◎(x.w)
↓x.(v◎w)=x[v◎w]
↓x.v=x[v]
↓x.w=x[w]
↓と書いて
(x,v◎w)→x[v◎w]＝x[v]◎w+v◎x[w]
と定める

[x,y][v◎w]
=[x,y][v]◎w+v◎[x,y][w]
↓[x,y][v]=x(y[v])-y(x[v])
↓[x,y][w]=x(y[w])-y(x[w])
↓だから
={x(y[v])-y(x[v])}◎w+v◎{x(y[w])-y(x[w])}
↓{x(y[v])-y(x[v])}◎w=x(y[v])◎w-y(x[v])◎w
↓v◎{x(y[w])-y(x[w])}=v◎x(y[w])-v◎y(x[w])
↓だから
=x(y[v])◎w-y(x[v])◎w+v◎x(y[w])-v◎y(x[w])
↓-y(x[v])◎w+v◎x(y[w])=v◎x(y[w])-y(x[v])◎w
↓だから
=x(y[v])◎w+v◎x(y[w])-y(x[v])◎w -v◎y(x[w])
=x(y[v])◎w+v◎x(y[w])-{y(x[v])◎w +v◎y(x[w])}
↓x(y[v◎w])=x(y[v])◎w+v◎x(y[w])
↓y(x[v◎w])=y(x[v])◎w +v◎y(x[w])
↓だから
=x(y[v◎w])-y(x[v◎w])
∴
[x,y][v◎w]=x(y[v◎w])-y(x[v◎w])
だから
V◎Wはg-加群である

補足

それだけでは条件が二つかけているのではないでしょうか？
今ご回答いただいた式ともう一つの式は証明できたのですが
x.(a(v⊗w)+b(v'⊗w'))
=a(x.(v⊗w))+b(x.(v'⊗w'))
が成り立つことを示せなくて困ってます。
どのように変形すればいいのでしょうか？