有限群に関する質問です。

質問

有限群に関する質問です。
ガウスの整数環Z[i]を考えます。
Z[i]から0でない元を1つ取ってきて、それをxとします。
このとき、xが生成するイデアル(x)でZ[i]を割って、剰余環Z[i]/(x)を作ります。
これは特に剰余群ですが、この群が必ず有限群になるのはなぜですか？

回答No.4

koko_u_u · ベストアンサー

>Z/2Zと同じように、Z[i]/(2)も位数2になると予想していたので、
>この結果が意外だったのですが。。。

「位数 4以下」が得られたんですね。もしかすると、位数は2かもしれないですね。
Z[i]/(2) の代表元をとってきて、互いに mod (2) で等しいか考えましょう。

お礼

解決しました。ありがとうございます！

補足

いえ、前回の補足に書いたように、a+bi＝a'+b'i (mod(x))⇔ a-a'∈2Z b-b'∈2Z
となって、Z[i]/(2)は位数4の有限群となりました。
具体的には、Z[i]/(2)＝{(2),1+(2),i+(2),1+i+(2)}です。

また、より一般に、x＝a∈Rのときは,位数a^2で,x＝bi(b∈R)のときは,位数b^2の有限群となりました。

ですが、x＝a+biのときが分からないです。。。

x_1+iy_1＝x_2+iy_2 mod(x)
⇔a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)∈(a^2+b^2)Z　かつ　-b(x_1-x_2)+a(y_1-y_2)∈(a^2+b^2)Z

となりますが、つまりこれはx_1やy_1などがどうなってれば良いということなのでしょうか？

回答No.3

koko_u_u

>すいませんが、どういう意味ですか？
「あれ、まだ途中でしょ？続きは？」という意味です。

解決したならその旨補足にどうぞ。

お礼

「また、一般の場合は位数a^2b^2の有限群になるのでしょうか？」
これは違うような・・・・？
すいません、ここは忘れてください。

補足

一般の場合が分からなかったので、とりあえず、x＝2の場合を考えてみました。
すると、a+bi＝a'+b'i (mod(x))⇔ a-a'∈2Z b-b'∈2Z
となって、Z[i]/(2)は位数4の以下のような有限群になったのですが。。。

Z[i]/(2)＝{{実部と虚部が偶数},{実部が偶数で虚部が奇数},{実部と虚部が奇数},{実部が奇数で虚部が偶数}}

Z/2Zと同じように、Z[i]/(2)も位数2になると予想していたので、
この結果が意外だったのですが。。。何か間違っているでしょうか？

また、一般の場合は位数a^2b^2の有限群になるのでしょうか？

回答No.2

koko_u_u

どんどん進みたまえ。

補足

すいませんが、どういう意味ですか？

回答No.1

koko_u_u

Z と時とすることは同じ。

お礼

x,y∈Z/2Zは、x+2Z,y+2Z∈Z/2Zの間違いです。

補足

例えば、Z/2Zという剰余群の元を調べるときは、x,y∈Z/2Zに対して、
x＝y (mod 2Z)　⇔　x-y∈2Z
だから、Z/2Z＝{[0],[1]}で、位数2の有限群とわかりますよね・・・
※[0]は偶数全体、[1]は奇数全体

では、今回も同じように2つの元が(x)に関して(左)合同である条件を調べるのですか？

ちなみに、
2つの元が(x)＝(α+βi)に関して合同になるための必要十分条件を求めたところ、
a+ib＝a'+ib' (mod(x)) ⇔　α(a-a')+β(b-b')∈(α^2+β^2)Z かつ　-β(a-a')+α(b-b')∈(α^2+β^2)Z
になりましたが。。。