無限生成の自由加群の基底が全て等農である事の証明

質問

私の教科書では有限生成な体上の加群(ベクトル空間)について、基底の濃度が一定であることの証明のあと、基底の濃度が無限の時には一般の自由加群について、基底の濃度が一定になることの証明が練習問題として出されています。

しかし、これは片手間に示せるんでしょうか。
できるとすればなにかヒントを頂けませんか?

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

一応ここ：
http://www.math.titech.ac.jp/~kawachi/maths/2005/Algebra/module.pdf
に、「可換環上の自由加群であれば、基底の濃度は一定である」事の証明が
載っています（但し私はざっと眺めてみただけで証明があっているかは確認して
いません）。
可換環上であれば成り立つこと自体は別の本（松坂「代数系入門」）にも書いて
ありました（証明はややこしいので書かないとありましたが）。

補足

ご回答ありがとうございます。
可換環上の自由加群であれば命題が成り立つことは、教科書に書いてありました。

教科書によると、非可換上の自由加群でさえ、基底の濃度が無限ならどの基底も等濃となるらしく、この証明が練習問題になっています(堀田良之　著、代数入門-群と加群-、裳華房)。

でもこれってチャレンジしてみたんですが簡単じゃないと思うんです。どうなんでしょう。

回答No.2

alice_44

一般の加群だと、次元が定義できるとは限らない
んではなかったかな。 (ウロ覚え)
基礎環が可換整域なら ok だったっけ？

回答No.1

ramayana

同型なベクトル空間の次元（基底の濃度）が一意的であるということでしょうか？
もしそうなら、加算個で生成されるベクトル空間なら、数学的帰納法を使って、より一般のベクトル空間なら、ツォルンの補題を使って、基底が存在することとともに、証明できます。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

証明が要求されているのは、ベクトル空間についてではなく、より一般に自由加群についてです。

つまり、次の命題です。

自由加群においてそのひとつの基底の濃度が無限なら全ての基底の濃度は等しい。