有限生成自由R加群について

質問

代数の証明がわからないので質問させてください。

問：MをR加群とし、N⊂Mを部分R加群とする。
このとき、NとM/Nがともに有限生成自由R加群なら、Mも有限生成自由R加群であることを証明しなさい。

有限生成であることの証明はNの生成系とM/Nの生成系をとり、π：M→M/Nによる逆像をつくって証明するやり方を使いました。
この問題の場合、独立な基底をもつことが含まれていますが、どのような手順になるのかわかりません。

わかる方、証明と解説をよろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

どこが疑問？
Nの基底とM/Nの基底の直積が、NとM/Nの直積(すなわちM)の基底となるでしょう？
Mの加法とスカラー倍がM/Nでwell-definedであり、M/NがMの部分加群とみなせる
ことを示してしまえば、MがNとM/Nの直積であることが言えて、後は一本道だけど。

補足

コメントありがとうございます。

流れは納得しました！
ただ具体的な証明の記述の仕方がわかりません…。基底が入ってくるとどう書いていったらいいかわからなくて。
そのへんも含めて教えていただきたいです(>_<)