実時間から虚時間への解析接続

質問

理論物理学では実時間から虚時間へ解析接続をするのは常套手段です（Feynman積分でtをitに変えるとWiener積分になり良く定義されるようになる）。f(x)が存在するかどうかも分からないが、
　∫(-∞～∞) exp(tx) f(x) dx = (3exp(t) + exp(-t))/4
を満たすときに実時間から虚時間へ解析接続して
　∫(-∞～∞) exp(itx) f(x) dx = (3exp(it) + exp(-it))/4
としてよいのでしょうか
　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3082877.html
実時間から虚時間へ解析接続できるための条件はもちろん、途中に特異点が無いことでしょう。自分の回答のことで無責任ですが、統計分布や場の量子論の実例で、途中に特異点があって解析接続してはいけない例などを教えていただければ幸いです。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

> 　∫(-∞～∞) exp(tx) f(x) dx = (3exp(t) + exp(-t))/4
> を満たすときに実時間から虚時間へ解析接続して
> 　∫(-∞～∞) exp(itx) f(x) dx = (3exp(it) + exp(-it))/4
> としてよいのでしょうか

この例では良さそうですね。

収束半径は無限大でしょうし、両辺のtの任意のべきの係数が等しいという条件が、二つの式で一致していると思いますので。

> 統計分布や場の量子論の実例で、途中に特異点があって解析接続してはいけない例

場の量子論でいいんですね。

例えば遅延グリーン関数は、上半面解析的で、正の松原振動数の温度グリーン関数に解析接続できますが、下半面には接続できないです。

遅延グリーン関数を G^R、温度グリーン関数を G とかき、スペクトル表示で、

G^R(k,ω) = ∫ρ(k,ω')dω'/(ω + iδ - ω')

と書いたとき、正の松原振動数 ω_n > 0 のほうには、ω+iδ → iω_n と置換えて、

G(k,iω_n) = ∫ρ(k,ω')dω'/(iω_n - ω')

と解析接続できますが、実軸直下の

ω=ω'-iδ

にカットがあるので、下半面 ω_n < 0 には接続できません。

お礼

ご回答ありがとうございます。少し勉強いたします。