積分

質問

f(x)=∫[-∞,∞]{exp(-x^2)}dx
f(x)=∫[-∞,∞]{exp(x^2)}dx

このような積分はどう考えれば良いのでしょうか。

回答No.2

noname#108210 · ベストアンサー

大概の微積分学の書籍に載っている方法です．
上のは重要です．

F(a)=∫[0,a]{exp(-x^2)}dx
とおくと

F(a)^2=∫[0,a]{exp(-x^2)}dx∫[0,a]{exp(-y^2)}dy
=∫_M{exp(-(x^2+y^2)}dxdy
ただし，Mは原点Oを１頂点とし，２辺が第１象限のx軸，y軸にある１辺aの正方形．

また，原点を中心として，半径a,√aの四分円をC1，C2　とすると，
∫_C1{exp(-(x^2+y^2)}dxdy≦∫_M{exp(-(x^2+y^2)}dxdy≦∫_C2{exp(-(x^2+y^2)}dxdy

ここで，
(x,y)→(r,θ)　の変数変換
x=rcosθ，y=rsinθ
をすれば，J（ヤコビアン）=r　なので，

∫_C1{exp(-(x^2+y^2)}dxdy
=∫_C1{exp(-(r^2)}rdrdθ
=∫[0,a]{exp(-(r^2)}rdr∫[0,π/2]dθ
=(π/4)(1-exp(-a^2))

同様にして，
∫_C2{exp(-(x^2+y^2)}dxdy
=(π/4)(1-exp(-2a^2))

(π/4)(1-exp(-a^2))≦F(a)^2≦(π/4)(1-exp(-2a^2))
（図を書いてみて納得して下さい．）

これから，a→∞　とすれば，F(a)^2→π/4

∫[0,∞]{exp(-x^2)}dx=(√π)/2

したがって，
∫[-∞,∞]{exp(-x^2)}dx＝2・(√π)/2=√π

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

haragyatei

どちらも簡単には求まりません。下のほうはグラフを書くと無限大に発散していますので積分も発散します。
上のほうはいろいろなやり方がありますが、結果として√πになります。

お礼

ご回答ありがとうございました。