指数関数の積分について

質問

研究の解析式で、わからない積分がありまして，
数学に詳しい方のご助言をお願いします．

式は，
f=∫[{exp(-x^2)}*{exp(exp(-x^2))}]dx
です．

部分積分や置き換えなど，いろいろと考えてみたのですが，
-2xなどが残り，解けませんでした．
よろしくお願いします．

回答No.2

mmky · ベストアンサー

参考程度に
f=∫[{exp(-x^2)}*{exp(exp(-x^2))}]dx
は一般的には解けませんね。
なんとかというときは、
f=∫[0～∞] [{exp(-x^2)}*{exp(exp(-x^2))}]dx
とすれば,ガウス積分∫[0～∞] [{exp(-ax^2)}dx を使った近似はできそうですね。
exp(-x^2)}*{exp(exp(-x^2)} を変形して、
y=e^-x^2
e^y=1+y/1!+y^2/2!+y~3/3!+・・・・
ye^y=y+y^2/1!+y^3/2!+y~4/3!+・・・・
これを項別積分すれば、
f=Σ[n=1,∞]∫[exp(-nx^2)/(n-1)!}dx
∫[0～∞] exp(-nx^2) dv = (1/2)√(π/n)　を使えば変数ｘからは逃げられますね。
=(1/2)√πΣ[n=1,∞][1/(√n)(n-1)!]
あってるかどうかは別として考え方の一つまで、

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
私も級数展開を用いて計算してみました。
やはり、階乗が残ってきました。
もう少し考えてみます。ありがとうございました。

回答No.1

physicsache

複素関数に拡張してみるといけるかもしれない・・・
なんて考えたのですが・・・・

お礼

ありがとうございます。
私も複素関数への拡張を考えてみました。
ただ、複素関数の知識が乏しくて・・・