留数定理による実定積分の計算について

質問

留数定理による実定積分の計算について
現在複素積分について勉強中のものです。
∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dxという形の積分の計算なのですが
tを実数とし,kはΣの添え字,mは極の個数,iは虚数とします.
このときtがt<0のとき
∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dx=-2πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}}
となりf(z)が偶関数のとき
∫^{+∞}_{0}f(x)cos(tx)dx=πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}}
となりf(z)が奇関数のとき
∫^{+∞}_{0}f(x)sin(tx)dx=-πΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}}
となる

これで合っていますでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

遇関数とか、奇関数とか以前に、複素関数 f(z) が
lim[z→∞] f(z) exp(itz) = 0 となるようなもの
でないと、その方法は使えません。

その上で、m は「極の個数」ではなく、
「虚部が正な特異点の個数」でなくては。

補足

細かいことは私の認識間違えで大変申し訳ございませんが、私が一番聞きたいのはπの前の符号の部分ですのでその部分についてお答えいただきませんでしょうか？

回答No.2

alice_44

複素指数関数に関するオイラーの等式と
f の偶奇性から、式を変形するのは、
高校数III程度の計算練習を経た人には
簡単なことですから、課題の答えは、
誰かポイントが欲しい人が書いてくれるでしょう。

実積分を複素積分に拡張して、留数定理で処理
する計算を、問題文の誘導無しに自分でできる
ようになるためには、貴方が「細かいこと」と
スルーしようとしている No.1 のような事項を
適切に処理できるかどうかが重要なのです。